ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بحساب المجموع الجزئي المكتوب بصيغة سيغما، أي \( \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) \) للدالة f(i). فهي تجمع قيمة الدالة المختارة عند كل دليل صحيح يقع بين الحد الأدنى m والحد الأعلى n، بما في ذلك الطرفان. تظهر المجاميع الجزئية في كل مكان تقريبًا داخل الجبر والتفاضل والتكامل وعلوم الحاسوب، كلّما احتجتَ إلى المجموع التراكمي لمتتالية ما.
طريقة الاستخدام
اختر نمط الدالة: i (الأعداد الطبيعية)، أو i² (المربعات)، أو i³ (المكعبات)، أو الصيغة الخطية a·i + b، أو الصيغة الهندسية a·rⁱ، أو التوافقية 1/i. ثم أدخل الدليل الأدنى m والدليل الأعلى n. وفي حالتَي الصيغة الخطية والهندسية، عبّئ المعاملات a و b والنسبة r. تعرض لك الحاسبة المجموع الكلي، وعدد الحدود المجموعة، ومتوسط الحد.
شرح الصيغة
يعني التعبير
$$ S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) $$ببساطة ما يلي: ابدأ عند \( i = \text{m} \) واحسب f(i)، ثم انتقل إلى \( i = \text{m}+1 \)، واستمر حتى تصل إلى \( i = \text{n} \)، جامعًا كل ناتج. وعدد الحدود يساوي \( \text{n} - \text{m} + 1 \). فعلى سبيل المثال، يستخدم مجموع المربعات الدالة \( f(i) = i^{2} \)، وله الصيغة المغلقة \( \frac{\text{n}(\text{n}+1)(2\text{n}+1)}{6} \) عندما يكون \( \text{m} = 1 \).
مثال محلول
مجموع المربعات من 1 إلى 5:
$$ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 $$عبر 5 حدود، بمتوسط 11.
الأسئلة الشائعة
هل يُحتسب الطرفان كلاهما؟ نعم، يشمل المجموع كلًّا من \( i = \text{m} \) و \( i = \text{n} \).
ماذا لو كان n أصغر من m؟ يُعامَل المجموع على أنه فارغ ويُرجِع القيمة 0.
هل يمكن أن يكون الدليل سالبًا؟ نعم — يمكن أن يكون m و n أي عددين صحيحين، شريطة أن يكون \( \text{n} \geq \text{m} \). أما في الحالة التوافقية 1/i، فيُتجاوَز الحد عند \( i = 0 \) لتفادي القسمة على صفر.
