ما هي المتسلسلة الهندسية اللانهائية؟
تأخذ المتسلسلة الهندسية اللانهائية الشكل \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\)، حيث يُضرب كل حدٍّ في عددٍ ثابت يُسمى الأساس (النسبة الثابتة) \(r\) للحصول على الحد التالي، و\(a\) هو الحد الأول. وعندما يكون هذا الأساس صغيرًا بما يكفي — أي عندما يقع تمامًا بين \(-1\) و\(1\) — فإن المجموع التراكمي يستقر عند قيمةٍ منتهيةٍ واحدة بدلًا من أن يتزايد إلى ما لا نهاية. تُعيد هذه الحاسبة تلك القيمة الحدية، المعروفة بالمجموع حتى اللانهاية. وهي قاعدة رياضية بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الحد الأول a والأساس r. ويقبل كلا الحقلين الأعداد العشرية أو الكسور مثل 1/3، حيث يُحوَّل الكسر إلى قيمة عشرية قبل تطبيق الصيغة. ويجب أن يحقق الأساس الشرط \(-1 < r < 1\)؛ فإذا أدخلت قيمةً تساوي 1 أو أكبر (أو تساوي -1 أو أقل)، تتباعد المتسلسلة وتُنبّهك الأداة إلى ذلك بدلًا من إعطاء نتيجة رقمية.
شرح الصيغة
الصيغة المغلقة هي $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ وهي مشتقة من مجموع الحدود الجزئي المنتهي \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). فعندما يكون \(|r| < 1\)، يتناقص الحد \(r^n\) ليؤول إلى الصفر كلما زادت n، فينهار التعبير إلى \(\frac{a}{1 - r}\). ولا يكون المقام \((1 - r)\) مساويًا للصفر أبدًا ضمن المجال الصالح، لأن ذلك يتطلب أن يكون \(r = 1\)، وهو مستبعَد بموجب شرط التقارب.
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 1\) و\(r = 0.3\). عندئذٍ $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.3} = \frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857143$$ وفي حالة \(a = 2\) و\(r = -0.5\) (متسلسلة متناوبة الإشارة)، يكون $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0.5)} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33333333333333$$
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(-1 < r < 1\)؟ خارج هذا المجال لا تتناقص الحدود نحو الصفر، فتتزايد المجاميع الجزئية بلا حدود (عند \(r \geq 1\)) أو تتذبذب (عند \(r = -1\))، ولا يوجد عندها مجموع منتهٍ.
هل يمكن أن يكون الحد الأول سالبًا أو صفرًا؟ نعم. فالحد الأول السالب يعكس إشارة المجموع فحسب، وعندما يكون \(a = 0\) يكون المجموع صفرًا لأي أساس صالح.
هل يمكنني إدخال كسر؟ نعم — اكتب قيمًا مثل 1/3 في أيٍّ من الحقلين، وستجري الحاسبة عملية القسمة أولًا.
