什么是无穷等比数列？
无穷等比数列的形式为 \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\)，其中每一项都等于前一项乘以一个固定的数 \(r\)，这个 \(r\) 称为公比，而 \(a\) 是首项。当公比足够小时——准确地说，当 \(r\) 严格介于 \(-1\) 和 \(1\) 之间时——累加的总和会趋向于一个有限的数值，而不会无限增长。本计算器返回的正是这个极限值，也就是数列的"无穷项和"。这属于纯数学概念，在任何国家、任何场景下的计算方式都完全一致。
如何使用本计算器
输入首项 a 和公比 r。两个输入框都支持小数，也支持像 1/3 这样的分数形式——计算器会先把分数换算成小数，再代入公式。公比必须满足 \(-1 < r < 1\)；如果你输入的值大于等于 \(1\)（或小于等于 \(-1\)），数列将发散，此时工具会给出提示，而不会返回具体数值。
公式详解
求和的闭式公式为 $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ 它由有限项部分和 \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) 推导而来。当 \(|r| < 1\) 时，随着 \(n\) 不断增大，\(r^n\) 会趋近于 \(0\)，于是整个表达式就收敛为 \(\dfrac{a}{1 - r}\)。在有效取值范围内，分母 \((1 - r)\) 永远不会等于零，因为那需要 \(r = 1\)，而收敛条件已经把这种情况排除在外。
计算实例
假设 \(a = 1\)、\(r = 0.3\)，则 $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.3} = \frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857143$$ 再看 \(a = 2\)、\(r = -0.5\)（这是一个正负交替的数列），则 $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0.5)} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33333333333333$$
常见问题
为什么必须满足 \(-1 < r < 1\)？ 超出这个范围，各项就不会趋近于零，于是部分和要么无限增大（\(r \geq 1\)），要么来回振荡（\(r = -1\)），都不存在有限的和。
首项可以是负数或零吗？ 可以。负的 \(a\) 只会让求和结果的符号取反；而当 \(a = 0\) 时，无论公比取何有效值，结果都是 \(0\)。
可以输入分数吗？ 可以——在任意输入框中填入像 1/3 这样的值，计算器会先完成除法运算再代入公式。
