输入计算

数学公式

Show calculation steps (1)

Sum of squares / cubes

Standard power-sum identities.

结果

级数之和

Σ from k = 1 to n

求和项数（n）	10

这个计算器有什么用

特殊级数求和（Σ）计算器利用精确的闭式求和公式，计算所选「特殊」数列前 n 项之和。它不是一项一项地累加，而是直接套用已知的求和恒等式，因此即使 n 很大，也能瞬间给出精确答案。这是一款纯数学工具，无论在哪里使用结果都完全一致——没有单位，也不涉及任何国家或地区的规则。

七种级数

你可以从以下任意一种通项表达式中选择，求其从 $k = 1$ 到 $n$ 的和：

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$ 以及 $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$

第一、二、三、四和第六种的结果均为整数；第五和第七种属于裂项相消（telescoping）级数，其和严格介于 0 与 1 之间。

三角数、平方和、立方和以及裂项分数级数的可视化表示 — 四个特殊级数背后的几何直观。

使用方法

从下拉菜单中选择一种级数，输入项数 n（正整数：1、2、3 …），再选择想要显示的有效数字位数，即可读出求和结果。精度选项仅影响显示效果——底层的闭式公式在数学上始终是精确的。

计算示例

选择 $\sum_{k=1}^{n} k^3$，取 $n = 9$。代入公式得 $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025$$ 这正好与经典恒等式 $1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025$ 相符。

由单位正方形组成的阶梯与其镜像拼成 n×(n+1) 的矩形 — 为什么 $1+2+\cdots+n$ 等于 $\frac{n(n+1)}{2}$：两个阶梯拼成一个矩形。

常见问题

为什么用公式而不是逐项相加？ 闭式公式的复杂度为 $O(1)$——无论 $n$ 多大都能瞬间得出精确结果，也不会因长串加法而产生舍入误差。

如果 n 不是正整数怎么办？ 求和下标 $k$ 只取正整数，因此程序会把 $n$ 强制取整为不小于 1 的最近整数。

为什么第 5 项和第 7 项的结果小于 1？ 它们是裂项相消级数，其部分和会逐渐逼近 1（对应 $\frac{1}{k(k+1)}$）或 $\frac{1}{4}$（对应 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$），但在有限的 $n$ 下永远达不到这个极限值。

特殊级数求和（Σ）计算器