이 계산기의 기능
특수 수열의 합(Σ) 계산기는 선택한 '특수' 수열의 처음 n개 항의 합을, 그 수열에 대응하는 정확한 닫힌 형태(closed-form) 공식으로 계산합니다. 항을 하나씩 더하는 대신 잘 알려진 항등식을 적용하므로, n이 아무리 커도 답이 즉시 그리고 정확하게 나옵니다. 단위도 없고 국가별 규정도 적용되지 않는 순수 수학 도구라서 어디서나 동일하게 작동합니다.
7가지 수열
k = 1부터 n까지 합산할 항의 식으로 아래 중 하나를 선택할 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$ 그리고 $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$
첫째, 둘째, 셋째, 넷째, 여섯째 식은 항상 정수로 떨어지며, 다섯째와 일곱째 식은 망원급수(telescoping series)로서 그 합이 0과 1 사이의 값만을 가집니다.
사용 방법
드롭다운에서 수열을 고르고, 항의 개수 n(1, 2, 3 … 같은 양의 정수)을 입력한 뒤, 표시할 유효숫자 자릿수를 선택하면 합을 바로 확인할 수 있습니다. 정밀도 선택은 화면 표시용일 뿐이며, 기반이 되는 닫힌 공식은 수학적으로 정확합니다.
계산 예시
\(\sum k^3\)을 선택하고 \(n = 9\)로 두면, 공식에 따라 $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025$$가 됩니다. 이는 잘 알려진 항등식 \(1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025\)와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
왜 일일이 더하지 않고 공식을 쓰나요? 닫힌 형태 공식은 \(O(1)\)이라서 n이 아무리 커도 즉시 정확한 값을 주며, 긴 덧셈에서 생기는 반올림 오차도 없습니다.
n이 양의 정수가 아니면 어떻게 되나요? 합산 지수 k는 양의 정수 위에서 움직이므로, n은 1 이상의 가장 가까운 정수로 보정됩니다.
왜 5번과 7번 결과는 1보다 작나요? 두 식은 망원급수로, 부분합이 1(\(\frac{1}{k(k+1)}\) 경우)이나 1/4(\(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) 경우)에 점점 가까워지지만, 유한한 n에서는 결코 그 극한값에 도달하지 않기 때문입니다.
