특수 수열의 합(Σ) 계산기

계산 입력

Special series Σ Σ k = n(n+1)/2 Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6 Σ k³ = n²(n+1)²/4 Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3 Σ 1/(k(k+1)) = n/(n+1) Σ k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 Σ 1/(k(k+1)(k+2))

항의 개수 n n = 1, 2, 3 …

표시 정밀도 (유효숫자) 6 digits 10 digits 14 digits 18 digits 22 digits 26 digits 30 digits 34 digits 38 digits 42 digits 46 digits 50 digits

공식

Show calculation steps (1)

1. Sum of squares / cubes

   

   Standard power-sum identities.

결과

수열의 합

55

Σ from k = 1 to n

합산한 항의 개수 (n)	10

이 계산기의 기능

특수 수열의 합(Σ) 계산기는 선택한 '특수' 수열의 처음 n개 항의 합을, 그 수열에 대응하는 정확한 닫힌 형태(closed-form) 공식으로 계산합니다. 항을 하나씩 더하는 대신 잘 알려진 항등식을 적용하므로, n이 아무리 커도 답이 즉시 그리고 정확하게 나옵니다. 단위도 없고 국가별 규정도 적용되지 않는 순수 수학 도구라서 어디서나 동일하게 작동합니다.

7가지 수열

k = 1부터 n까지 합산할 항의 식으로 아래 중 하나를 선택할 수 있습니다.

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$ 그리고 $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$$

첫째, 둘째, 셋째, 넷째, 여섯째 식은 항상 정수로 떨어지며, 다섯째와 일곱째 식은 망원급수(telescoping series)로서 그 합이 0과 1 사이의 값만을 가집니다.

네 가지 특수 급수의 기하학적 직관.

사용 방법

드롭다운에서 수열을 고르고, 항의 개수 n(1, 2, 3 … 같은 양의 정수)을 입력한 뒤, 표시할 유효숫자 자릿수를 선택하면 합을 바로 확인할 수 있습니다. 정밀도 선택은 화면 표시용일 뿐이며, 기반이 되는 닫힌 공식은 수학적으로 정확합니다.

계산 예시

\(\sum k^3\)을 선택하고 \(n = 9\)로 두면, 공식에 따라 $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025$$가 됩니다. 이는 잘 알려진 항등식 \(1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025\)와 정확히 일치합니다.

1+2+…+n이 n(n+1)/2인 이유: 두 계단이 직사각형을 채운다.

자주 묻는 질문

왜 일일이 더하지 않고 공식을 쓰나요? 닫힌 형태 공식은 \(O(1)\)이라서 n이 아무리 커도 즉시 정확한 값을 주며, 긴 덧셈에서 생기는 반올림 오차도 없습니다.

n이 양의 정수가 아니면 어떻게 되나요? 합산 지수 k는 양의 정수 위에서 움직이므로, n은 1 이상의 가장 가까운 정수로 보정됩니다.

왜 5번과 7번 결과는 1보다 작나요? 두 식은 망원급수로, 부분합이 1(\(\frac{1}{k(k+1)}\) 경우)이나 1/4(\(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) 경우)에 점점 가까워지지만, 유한한 n에서는 결코 그 극한값에 도달하지 않기 때문입니다.