विशेष श्रेणियों का योग (Σ) कैलकुलेटर

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Special series Σ Σ k = n(n+1)/2 Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6 Σ k³ = n²(n+1)²/4 Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3 Σ 1/(k(k+1)) = n/(n+1) Σ k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4 Σ 1/(k(k+1)(k+2))

पदों की संख्या n n = 1, 2, 3 …

प्रदर्शन परिशुद्धता (सार्थक अंक) 6 digits 10 digits 14 digits 18 digits 22 digits 26 digits 30 digits 34 digits 38 digits 42 digits 46 digits 50 digits

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Sum of squares / cubes

   

   Standard power-sum identities.

परिणाम

श्रेणी का योग

55

Σ from k = 1 to n

जोड़े गए पद (n)	10

यह कैलकुलेटर क्या करता है

विशेष श्रेणियों का योग (Σ) कैलकुलेटर किसी चुने हुए "विशेष" अनुक्रम के पहले n पदों का योग उसके सटीक क्लोज़्ड-फ़ॉर्म सूत्र की मदद से निकालता है। एक-एक पद जोड़ने के बजाय यह एक ज्ञात सर्वसमिका (identity) लागू करता है, इसलिए बड़े से बड़े n के लिए भी उत्तर बिल्कुल सटीक और पलक झपकते मिल जाता है। यह विशुद्ध गणित का उपकरण है जो हर जगह एक जैसा काम करता है — न कोई इकाई, न कोई देश-विशेष नियम।

ये सात श्रेणियाँ

आप \(k = 1\) से \(n\) तक जोड़े जाने वाले इनमें से किसी भी पद-व्यंजक को चुन सकते हैं:

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$ $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$ और $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$

पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी और छठी श्रेणी का परिणाम पूर्णांक होता है; जबकि पाँचवीं और सातवीं टेलिस्कोपिंग श्रेणियाँ हैं जिनका योग सख़्ती से 0 और 1 के बीच रहता है।

चार विशेष श्रेणियों के पीछे की ज्यामितीय समझ।

इसका उपयोग कैसे करें

ड्रॉपडाउन से कोई श्रेणी चुनें, पदों की संख्या n भरें (कोई धनात्मक पूर्णांक: 1, 2, 3 …), यह तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant figures) दिखाने हैं, और योग पढ़ लें। परिशुद्धता वाला विकल्प केवल दिखावे के लिए है — अंतर्निहित क्लोज़्ड-फ़ॉर्म सूत्र गणितीय रूप से पूरी तरह सटीक होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप \(n = 9\) के साथ \(\sum k^3\) चुनते हैं। सूत्र के अनुसार $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025.$$ यह उस मशहूर सर्वसमिका से मेल खाता है: $$1^3 + 2^3 + \cdots + 9^3 = 2025.$$

\(1+2+...+n\), \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर क्यों है: दो सीढ़ियाँ मिलकर एक आयत बनाती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

जोड़ने के बजाय सूत्र का इस्तेमाल क्यों करें? क्लोज़्ड-फ़ॉर्म सूत्र \(O(1)\) होते हैं — \(n\) कितना भी बड़ा हो, उत्तर तुरंत और सटीक मिलता है, और लंबे जोड़ से होने वाली राउंडिंग की कोई गुंजाइश नहीं रहती।

अगर n धनात्मक पूर्णांक न हो तो? योग का सूचकांक \(k\) केवल धनात्मक पूर्णांकों पर चलता है, इसलिए \(n\) को कम से कम 1 के निकटतम पूर्णांक में बदल दिया जाता है।

विकल्प 5 और 7 का मान 1 से कम क्यों होता है? ये टेलिस्कोपिंग श्रेणियाँ हैं जिनके आंशिक योग 1 की ओर (\(\frac{1}{k(k+1)}\) के लिए) या \(\frac{1}{4}\) की ओर (\(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) के लिए) बढ़ते हैं, पर परिमित \(n\) के लिए कभी उस सीमा तक नहीं पहुँचते।