ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة مجموع المتسلسلات الخاصة (Σ) مجموع أول n حدًّا من متتالية "خاصة" تختارها، وذلك بالاعتماد على صيغتها المغلقة الدقيقة. فبدلًا من جمع الحدود واحدًا تلو الآخر، تطبّق الحاسبة متطابقة معروفة، فتأتيك النتيجة دقيقة وفورية حتى عندما تكون قيمة n كبيرة جدًّا. إنها أداة رياضية بحتة تعمل بالطريقة نفسها في أي مكان — بلا وحدات قياس ولا قيود بلد معيّن.
المتسلسلات السبع
يمكنك اختيار أي من تعبيرات الحدود التالية مجموعةً من \(k = 1\) إلى \(n\):
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$$$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$$$$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$و\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\).
تعطي المتسلسلات الأولى والثانية والثالثة والرابعة والسادسة نتائج عددية صحيحة، أمّا الخامسة والسابعة فهما متسلسلتان تلسكوبيتان (متداخلتان) تقع مجاميعهما بدقّة بين 0 و1.
كيفية الاستخدام
اختر متسلسلة من القائمة المنسدلة، ثم أدخل عدد الحدود n (وهو عدد صحيح موجب: 1، 2، 3 …)، وحدّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اقرأ المجموع. مُحدِّد الدقة ذو طابع تجميلي فحسب — فالصيغ المغلقة المستخدمة دقيقة رياضيًّا تمامًا.
مثال محلول
اختر \(\sum k^3\) مع \(n = 9\). تعطي الصيغة $$\frac{9^2 \times 10^2}{4} = \frac{81 \times 100}{4} = \frac{8100}{4} = 2025.$$ وهذا يطابق المتطابقة الكلاسيكية \(1^3 + 2^3 + \hdots + 9^3 = 2025\).
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم صيغة بدلًا من الجمع المباشر؟ الصيغ المغلقة من الرتبة \(O(1)\) — أي فورية ودقيقة مهما كبرت قيمة n، ومن دون أي تقريب ناتج عن عمليات الجمع الطويلة.
ماذا لو لم تكن n عددًا صحيحًا موجبًا؟ بما أنّ دليل الجمع k يمرّ على الأعداد الصحيحة الموجبة، فإنّ قيمة n تُقرّب إلى أقرب عدد صحيح لا يقلّ عن 1.
لماذا قيمتا الخيارين 5 و7 أقلّ من 1؟ لأنّهما متسلسلتان تلسكوبيتان تقترب مجاميعهما الجزئية من 1 (في حالة \(1/(k(k+1))\)) أو من 1/4 (في حالة \(1/(k(k+1)(k+2))\))، لكنّها لا تبلغ هذا الحدّ أبدًا عند أي قيمة منتهية لـ n.
