무한등비급수 합 계산기 (S = a/(1-r))

계산 입력

결과

무한등비급수의 합

1.42857142857143

S∞ = a / (1 - r)

첫째항 a	1
공비 r	0.3
1 - r	0.7

무한등비급수란?

무한등비급수는 a + ar + ar² + ar³ + … 형태로 나타나며, 각 항은 바로 앞 항에 일정한 수 r(공비라고 합니다)을 곱한 값이고, a는 첫째항입니다. 공비가 충분히 작을 때 — 정확히 말하면 -1과 1 사이에 엄격히 놓일 때 — 누적 합은 무한히 커지지 않고 하나의 유한한 값으로 수렴합니다. 이 계산기는 바로 그 극한값, 즉 무한 합을 구해 줍니다. 순수 수학 개념이므로 어느 나라에서든 동일하게 적용됩니다.

점점 작아지는 막대 구간이 더해지며 수직선에서 극한에 다가가는 모습 — 항이 0에 가까워질수록 부분합은 유한한 극한 $S$에 가까워집니다.

계산기 사용법

첫째항 a와 공비 r을 입력하세요. 두 칸 모두 소수는 물론 1/3 같은 분수 형태도 받아들이며, 공식에 대입하기 전에 소수로 변환해 계산합니다. 공비는 반드시 $-1 < r < 1$ 조건을 만족해야 합니다. 만약 1 이상(또는 -1 이하)인 값을 입력하면 급수가 발산하므로, 결과 대신 발산을 알려 줍니다.

공식 풀이

닫힌 형태의 공식은 $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$입니다. 이는 유한 부분합 $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$에서 유도됩니다. $|r| < 1$일 때 $n$이 커질수록 $r^n$ 항이 0으로 수렴하므로, 식은 $\frac{a}{1 - r}$로 정리됩니다. 유효 범위 안에서는 분모 $(1 - r)$이 0이 되는 경우가 없는데, 그러려면 $r = 1$이어야 하지만 이 값은 수렴 조건에서 제외되기 때문입니다.

정사각형이 반복적으로 더 작은 음영 영역으로 나뉘어 전체 넓이를 채우는 모습 — 기하학적으로, 작아지는 조각들이 $S = \frac{a}{1-r}$와 같은 유한한 전체 넓이를 채웁니다.

예제 풀이

$a = 1$, $r = 0.3$이라고 합시다. 그러면 $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.3} = \frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857143$$입니다. $a = 2$, $r = -0.5$(부호가 번갈아 바뀌는 교대급수)인 경우에는 $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0.5)} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33333333333333$$입니다.