Калькулятор суммы бесконечной геометрической прогрессии

Введите расчет

Первый член a

Знаменатель прогрессии r

You may enter a fraction such as 1/3. The common ratio must satisfy -1 < r < 1 for the series to converge.

Результатов

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

1,42857142857143

S∞ = a / (1 - r)

Первый член a	1
Знаменатель прогрессии r	0,3
1 − r	0,7

Что такое бесконечная геометрическая прогрессия?

Бесконечная геометрическая прогрессия имеет вид \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\), где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число \(r\) — знаменатель прогрессии, а \(a\) — это первый член. Если знаменатель достаточно мал, а именно строго лежит в промежутке от \(-1\) до \(1\), накапливающаяся сумма не растёт до бесконечности, а стремится к одному конечному значению. Этот калькулятор как раз и находит такое предельное значение — сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это чистая математика, которая работает одинаково в любой точке мира.

По мере того как члены стремятся к нулю, частичные суммы приближаются к конечному пределу \(S\).

Как пользоваться калькулятором

Введите первый член \(a\) и знаменатель прогрессии \(r\). Оба поля принимают как десятичные числа, так и записи в виде дроби, например 1/3 — перед подстановкой в формулу такая дробь сначала переводится в десятичное число. Знаменатель должен удовлетворять условию \(-1 < r < 1\); если вы введёте значение 1 или больше (либо −1 или меньше), прогрессия расходится, и калькулятор сообщит об этом вместо вывода числа.

Разбор формулы

Замкнутая формула выглядит так: $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ Она получается из суммы первых \(n\) членов \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). При \(|r| < 1\) слагаемое \(r^n\) с ростом \(n\) стремится к нулю, поэтому выражение сводится к \(\frac{a}{1 - r}\). В допустимом диапазоне знаменатель \((1 - r)\) никогда не обращается в ноль, ведь это потребовало бы \(r = 1\), а такое значение исключено условием сходимости.

Реклама

Геометрически уменьшающиеся части заполняют конечную общую площадь, равную \(S = \frac{a}{1 - r}\).

Пример расчёта

Пусть \(a = 1\) и \(r = 0{,}3\). Тогда $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0{,}3} = \frac{1}{0{,}7} \approx 1{,}42857142857143$$ Для \(a = 2\) и \(r = -0{,}5\) (знакочередующаяся прогрессия) получаем $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0{,}5)} = \frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33333333333333$$

Частые вопросы

Почему обязательно \(-1 < r < 1\)? За пределами этого диапазона члены прогрессии не убывают к нулю, поэтому частичные суммы либо неограниченно растут (\(r \geq 1\)), либо колеблются (\(r = -1\)), и конечной суммы попросту не существует.

Может ли первый член быть отрицательным или равным нулю? Да. Отрицательное \(a\) просто меняет знак суммы, а при \(a = 0\) сумма равна 0 при любом допустимом знаменателе.

Можно ли вводить дробь? Да — наберите в любом из полей значение вроде 1/3, и калькулятор сначала выполнит деление.