Qu'est-ce qu'une série géométrique infinie ?
Une série géométrique infinie s'écrit sous la forme \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\), où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe \(r\) appelé la raison, \(a\) désignant le premier terme. Lorsque la raison est suffisamment petite — plus précisément lorsqu'elle est strictement comprise entre \(-1\) et \(1\) — la somme cumulée se stabilise vers une valeur finie unique au lieu de croître indéfiniment. Ce calculateur renvoie cette valeur limite, que l'on nomme la somme à l'infini. Il s'agit de mathématiques pures, valables de façon identique partout dans le monde.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le premier terme a et la raison r. Les deux champs acceptent des nombres décimaux ou des fractions telles que 1/3, qui sont converties en valeur décimale avant l'application de la formule. La raison doit vérifier \(-1 < r < 1\) ; si vous entrez une valeur supérieure ou égale à 1 (ou inférieure ou égale à −1), la série diverge et l'outil le signale au lieu de renvoyer un résultat.
La formule expliquée
La forme fermée s'écrit $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}.$$ Elle découle de la somme partielle finie \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). Lorsque \(|r| < 1\), le terme \(r^n\) tend vers 0 à mesure que \(n\) augmente, si bien que l'expression se réduit à \(\dfrac{a}{1 - r}\). Le dénominateur \((1 - r)\) ne s'annule jamais dans l'intervalle valable, car cela exigerait \(r = 1\), valeur exclue par la condition de convergence.
Exemple résolu
Supposons \(a = 1\) et \(r = 0{,}3\). Alors $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0{,}3} = \frac{1}{0{,}7} \approx 1{,}42857142857143.$$ Pour \(a = 2\) et \(r = -0{,}5\) (une série alternée), $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0{,}5)} = \frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33333333333333.$$
FAQ
Pourquoi faut-il que \(-1 < r < 1\) ? En dehors de cet intervalle, les termes ne tendent pas vers zéro : les sommes partielles croissent sans limite (\(r \geq 1\)) ou oscillent (\(r = -1\)), et aucune somme finie n'existe.
Le premier terme peut-il être négatif ou nul ? Oui. Un \(a\) négatif inverse simplement le signe de la somme, tandis qu'un \(a = 0\) donne une somme égale à 0 pour toute raison valable.
Puis-je saisir une fraction ? Oui — tapez des valeurs comme 1/3 dans l'un ou l'autre des champs et le calculateur effectue d'abord la division.
