Sonsuz Geometrik Seri Toplamı Hesaplama

Hesaplamaya Girin

İlk terim a

Ortak çarpan r

You may enter a fraction such as 1/3. The common ratio must satisfy -1 < r < 1 for the series to converge.

Sonuç

Sonsuz geometrik serinin toplamı

1,42857142857143

S∞ = a / (1 - r)

İlk terim a	1
Ortak çarpan r	0,3
1 - r	0,7

Sonsuz geometrik seri nedir?

Sonsuz geometrik seri, \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) biçiminde yazılır. Burada her terim, bir önceki terimin ortak çarpan adı verilen sabit bir \(r\) sayısıyla çarpılmasıyla elde edilir; \(a\) ise serinin ilk terimidir. Ortak çarpan yeterince küçük olduğunda — yani kesinlikle -1 ile 1 arasında kaldığında — toplam sonsuza dek büyümek yerine tek ve sonlu bir değere yaklaşır. Bu araç, sonsuza kadar toplam olarak bilinen bu sınır değeri hesaplar. Saf matematiktir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.

Terimler sıfıra doğru küçüldükçe kısmi toplamlar sonlu bir S limitine yaklaşır.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

İlk terim a değerini ve ortak çarpan r değerini girin. Her iki alan da ondalık sayıları ya da 1/3 gibi kesir biçimindeki girişleri kabul eder; kesirler formül uygulanmadan önce ondalık değere dönüştürülür. Ortak çarpanın \(-1 < r < 1\) koşulunu sağlaması gerekir. 1 ya da daha büyük (veya -1 ya da daha küçük) bir değer girerseniz seri ıraksar ve araç bir sayı döndürmek yerine bu durumu uyarı olarak gösterir.

Formülün açıklaması

Kapalı formül $$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$ şeklindedir. Bu formül, sonlu kısmi toplam olan \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) ifadesinden türetilir. \(|r| < 1\) olduğunda \(n\) büyüdükçe \(r^n\) terimi 0'a yaklaşır ve ifade \(\frac{a}{1 - r}\) değerine sadeleşir. Geçerli aralıkta paydadaki \((1 - r)\) hiçbir zaman sıfır olmaz; çünkü bu yalnızca \(r = 1\) için gerçekleşirdi ve bu değer yakınsama koşulu gereği zaten dışarıda tutulur.

Reklam

Geometrik olarak, küçülen parçalar \(S = \frac{a}{1-r}\) değerine eşit sonlu bir toplam alanı kaplar.

Çözümlü örnek

\(a = 1\) ve \(r = 0{,}3\) olsun. Bu durumda $$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0{,}3} = \frac{1}{0{,}7} \approx 1{,}42857142857143$$ olur. \(a = 2\) ve \(r = -0{,}5\) için (işaret değiştiren bir seri) ise $$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0{,}5)} = \frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33333333333333$$ elde edilir.

Sıkça sorulan sorular

Neden \(-1 < r < 1\) olmalı? Bu aralığın dışında terimler sıfıra doğru küçülmez; bu nedenle kısmi toplamlar sınırsız biçimde büyür (\(r \ge 1\)) ya da salınım yapar (\(r = -1\)) ve sonlu bir toplam oluşmaz.

İlk terim negatif veya sıfır olabilir mi? Evet. Negatif bir \(a\) değeri yalnızca toplamın işaretini ters çevirir; \(a = 0\) ise geçerli her ortak çarpan için toplam 0 olur.

Kesir girebilir miyim? Evet — her iki alana da 1/3 gibi değerler yazabilirsiniz; araç önce bölme işlemini hesaplar.