無限等比級数とは
無限等比級数とは、\(a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots\) という形で表される級数のことです。各項は前の項に一定の数 r（公比）を掛けて得られ、a は初項を表します。公比が十分に小さいとき——具体的には -1 より大きく 1 より小さい範囲にあるとき——項を足し合わせた合計は無限に大きくなることなく、ある有限の値へと近づいていきます。この計算機は、その極限値である「無限等比級数の和」を求めるものです。純粋な数学の公式に基づくため、どの国・地域でも同じように使えます。
計算機の使い方
初項 a と公比 r を入力してください。どちらも小数のほか、1/3 のような分数形式でも入力でき、公式に当てはめる前に小数として評価されます。公比は \(-1 < r < 1\) を満たす必要があります。1 以上（または -1 以下）の値を入力すると級数は発散するため、計算結果として数値を返す代わりにその旨が表示されます。
公式の解説
無限等比級数の和の公式は次の通りです。
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$$これは有限項の部分和 \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) から導かれます。\(|r| < 1\) のとき、n が大きくなるにつれて \(r^n\) は 0 に近づくため、式は \(\dfrac{a}{1 - r}\) に収束します。分母 \((1 - r)\) が 0 になるのは \(r = 1\) のときだけですが、これは収束条件によって除外されているため、有効な範囲内では分母が 0 になることはありません。
計算例
a = 1、r = 0.3 の場合、$$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 0.3} = \frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857143$$ となります。a = 2、r = -0.5 のとき（符号が交互に変わる交項級数）は、$$S_{\infty} = \frac{2}{1 - (-0.5)} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33333333333333$$ です。
よくある質問
なぜ \(-1 < r < 1\) でなければならないのですか？ この範囲を外れると各項が 0 に近づかなくなるため、部分和は限りなく大きくなる（\(r \ge 1\)）か振動する（\(r = -1\)）かのいずれかになり、有限の和が存在しなくなります。
初項は負やゼロでもよいですか？ はい。a が負の場合は和の符号が反転するだけで、a = 0 のときは公比が有効な範囲であれば和は 0 になります。
分数で入力できますか？ はい。どちらの欄にも 1/3 のような値を入力でき、計算機はまず割り算を実行してから処理します。
