有限等比数列の和とは？
等比数列とは、前の項に一定の数（公比 \(r\)）を掛けることで次の項が得られる数列のことです。その各項を足し合わせたものが等比数列の和です。有限の等比数列の和では、決められた項数 \(n\) の分だけを合計します。この計算ツールでは、初項 \(a_1\)、公比 \(r\)、項数 \(n\) を入力すると、最初の \(n\) 項の合計 \(S_n\) を求めることができます。
使い方
入力する値は3つです。初項 \(a_1\)（最初の値）、公比 \(r\)（隣り合う項の比）、そして \(n\)（足し合わせる項の数）です。「計算」を押すと和が表示され、参考として末項 \(a_n\) と \(r^n\) の値も確認できます。整数だけでなく小数にも対応しており、\(r\) は負の数や分数でも問題ありません。
公式の解説
和を求める公式（閉じた形）は次のとおりです。
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r}$$（ただし \(r \neq 1\) のとき）
この式を使えば、各項を1つずつ足していく手間が省けます。\(r = 1\) の場合は、すべての項が \(a_1\) と等しくなるため、和は単純に $$S_n = a_1 \cdot n$$ となります。本ツールはこの特殊なケースを自動的に判定し、ゼロで割ることを防いでいます。
計算例
\(a_1 = 2\)、\(r = 3\)、\(n = 5\) の場合を考えてみましょう。各項は 2, 6, 18, 54, 162 となります。公式に当てはめると、\(r^n = 3^5 = 243\) なので、$$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$ です。5つの項を直接足し合わせても（\(2 + 6 + 18 + 54 + 162\)）242 となり、一致します。✓
よくある質問
公比は負の数でもよいですか？ はい、可能です。公比が負の場合は符号が交互に変わります（例：\(r = -2\) なら各項は \(a_1, -2a_1, 4a_1, \ldots\) となります）。この公式は負の公比にも正しく対応します。
\(r\) が \(-1\) と \(1\) の間の場合はどうなりますか？ 有限和の計算はそのまま使えます。\(n\) を大きくしていくと、和は無限級数の極限値 \(\frac{a_1}{1 - r}\) に近づきますが、本ツールは常にちょうど \(n\) 項分だけを正確に合計します。
結果に表示される \(r^n\) とは何ですか？ 公比 \(r\) を \(n\) 乗した値で、公式の計算途中で現れる中間値です。計算過程をわかりやすくするために表示しています。
