Cấp số nhân hữu hạn là gì?
Cấp số nhân là tổng các số hạng của một dãy số nhân, trong đó mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng liền trước với một hằng số cố định gọi là công bội (r). Một cấp số nhân hữu hạn chỉ cộng một số lượng số hạng xác định, ký hiệu là n. Công cụ này trả về tổng Sₙ của n số hạng đầu tiên khi bạn biết số hạng đầu a₁, công bội r và số số hạng n.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: số hạng đầu a₁ (giá trị khởi đầu), công bội r (hệ số giữa hai số hạng liên tiếp) và n (số số hạng cần cộng). Nhấn nút tính toán để nhận ngay tổng, kèm theo giá trị của số hạng cuối aₙ và rⁿ để bạn tham khảo. Công cụ hỗ trợ cả số nguyên lẫn số thập phân, và r có thể là số âm hoặc phân số.
Giải thích công thức
Công thức tính tổng dạng rút gọn là:
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ áp dụng khi \(r \neq 1\).
Công thức này giúp bạn không phải cộng từng số hạng một. Nếu \(r = 1\), mọi số hạng đều bằng a₁, nên tổng đơn giản là $$S_n = a_1 \cdot n$$ Máy tính tự động nhận diện trường hợp đặc biệt này để tránh phép chia cho 0.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(r = 3\) và \(n = 5\). Các số hạng là 2, 6, 18, 54, 162. Áp dụng công thức: \(r^n = 3^5 = 243\), vậy $$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$ Nếu cộng trực tiếp năm số hạng \((2 + 6 + 18 + 54 + 162)\) ta cũng được 242. ✓
Câu hỏi thường gặp
Công bội có thể là số âm không? Có. Một giá trị r âm sẽ tạo ra các dấu xen kẽ nhau (ví dụ \(r = -2\) cho các số hạng \(a_1, -2a_1, 4a_1, \ldots\)), và công thức vẫn xử lý chính xác.
Nếu r nằm giữa −1 và 1 thì sao? Tổng hữu hạn vẫn tính được bình thường. Khi n càng lớn, tổng càng tiến gần đến giới hạn của chuỗi vô hạn \(a_1/(1 - r)\), nhưng công cụ này luôn cộng đúng n số hạng.
rⁿ trong kết quả có nghĩa là gì? Đó là công bội được nâng lên lũy thừa n, một giá trị trung gian trong công thức, được hiển thị để bạn dễ theo dõi cách tính.
