Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
Cấp số nhân lùi vô hạn là tổng vô tận của các số hạng, trong đó mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng liền trước với một hằng số cố định gọi là công bội (r): \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . Khi giá trị tuyệt đối của công bội đủ nhỏ (\(|r| < 1\)), các số hạng giảm dần về 0 đủ nhanh để tổng tiến tới một giá trị hữu hạn duy nhất. Công cụ này tính ngay giới hạn đó cho bạn.
Cách dùng máy tính
Nhập số hạng đầu a và công bội r, rồi xem kết quả tổng. Nếu \(|r| \geq 1\), máy tính sẽ báo rằng chuỗi phân kỳ — không có tổng hữu hạn vì các số hạng không giảm dần về 0.
Giải thích công thức
Công thức rút gọn để tính tổng là $$S = \frac{a}{1 - r}$$ chỉ đúng khi \(|r| < 1\). Nó được suy ra từ tổng riêng hữu hạn \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). Khi n tăng vô hạn, \(r^n \to 0\) với mọi trường hợp \(|r| < 1\), để lại \(S = \frac{a}{1 - r}\). Nếu \(|r| \geq 1\) thì \(r^n\) không triệt tiêu, nên các tổng riêng tăng không giới hạn hoặc dao động, và chuỗi phân kỳ.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = 1\) và \(r = 0{,}5\). Vì \(|0{,}5| < 1\) nên chuỗi hội tụ. $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Vậy \(1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots = 2\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu r âm thì sao? Công thức vẫn dùng được miễn là \(|r| < 1\). Với \(a = 3\), \(r = -0{,}5\), ta có $$S = \frac{3}{1 - (-0{,}5)} = \frac{3}{1{,}5} = 2$$
Khi nào chuỗi phân kỳ? Bất cứ khi nào \(|r| \geq 1\) (ví dụ \(r = 2\) hoặc \(r = -1\)). Các số hạng không bao giờ giảm về 0, nên không có tổng hữu hạn.
Nếu a = 0 thì sao? Mọi số hạng đều bằng 0, nên tổng đơn giản bằng 0.
