無限等比級数とは？
無限等比級数とは、各項に「公比（r）」と呼ばれる一定の数を掛けて次々に作られる項を、無限に足し合わせたものです。式で書くと \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) となります。公比の絶対値が十分に小さいとき（\(|r| < 1\)）、項は急速にゼロへ近づくため、総和は1つの有限な値へ収束します。この計算機は、その極限値を瞬時に求めます。
この計算機の使い方
初項 a と公比 r を入力すれば、和がすぐに表示されます。もし \(|r| \geq 1\) の場合は、級数が発散することをお知らせします。項がゼロへ収束しないため、有限の和を持たないからです。
公式の解説
和を表す閉じた形の公式は $$S = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}, \quad \left|\,r\,\right| < 1$$ で、これは \(|r| < 1\) のときにのみ成り立ちます。この式は、有限項までの部分和 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) から導かれます。\(|r| < 1\) のとき、n を限りなく大きくすると \(r^n \to 0\) となるため、\(S = \frac{a}{1 - r}\) が残ります。一方 \(|r| \geq 1\) の場合は \(r^n\) がゼロに収束せず、部分和は限りなく大きくなるか振動し、級数は発散します。
計算例
\(a = 1\)、\(r = 0.5\) のケースを考えてみましょう。\(|0.5| < 1\) なので、この級数は収束します。$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$ となります。つまり \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \ldots = 2\) です。
よくある質問
r が負の数のときは？ \(|r| < 1\) でありさえすれば、公式はそのまま使えます。例えば \(a = 3\)、\(r = -0.5\) のとき、$$S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2$$ となります。
級数が発散するのはどんなとき？ \(|r| \geq 1\) のとき（例えば \(r = 2\) や \(r = -1\)）です。項がゼロに収束しないため、有限の和は存在しません。
a = 0 のときは？ すべての項がゼロになるので、和は単純に 0 です。
