この計算ツールでできること
等比数列とは、各項に一定の数（公比）を掛けることで次の項が得られる数列です。並べると \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}\) という形になります。この計算ツールでは、初項 a・公比 r・項数 n を入力するだけで、第n項の値と、初項から第n項までの総和（部分和）を同時に求められます。
使い方
初項 a（正の数・負の数・分数など任意の実数）、公比 r、項数 n（正の整数）を入力します。必要に応じて表示桁数（有効数字）を選ぶと、結果に表示する桁数を調整できます。これはあくまで表示上の設定であり、計算そのものには影響しません。計算ボタンを押すと、第n項 \(a_n\) と総和 \(S_n\) の両方が表示されます。
公式の解説
第n項は次の式で求められます。
$$a_n = a \cdot r^{\,n-1}$$総和については、r が 1 でないときは次の公式を用います。
$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^{\,n}}{1 - r}$$r が 1 のときはすべての項が同じ値になり、分母 \((1 - r)\) が 0 になってしまうため、この場合は次のようになります。
$$S_n = n \cdot a$$本ツールは自動でこの場合分けを行い、0 での除算を回避します。
計算例
a = 1、r = 2、n = 10 の場合：第10項は \(a_n = 1 \cdot 2^9 = 512\) です。総和は次のようになります。
$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$よくある質問
無限級数（無限の和）も計算できますか？ いいえ。本ツールは常に、ちょうど n 項分の有限の部分和を計算します。\(|r| < 1\) のとき、n を大きくしていくと部分和は \(a/(1-r)\) に近づきますが、本ツールが項数を無限とみなすことはありません。
公比はマイナスでもよいですか？ はい。r が負の数の場合、各項の符号は交互に変わりますが、公式はそのまま成り立ちます。
r = 0 のときは？ このとき初項だけが a を与え、それ以降の項はすべて 0 になります。したがって \(S_n = a\) となり、第n項 \(a_n\) は n = 1 のときのみ a、それ以外は 0 になります。
