什麼是無窮等比級數？
無窮等比級數是一連串無止盡相加的項，每一項都是把前一項乘上一個固定倍數而得，這個倍數稱為「公比」（r）：\(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\)。當公比的絕對值夠小（\(|r| < 1\)）時，各項會迅速趨近於零，使整體總和逐漸逼近一個有限的數值。本計算機能立即幫你算出這個極限值。
如何使用本計算機
輸入首項 a 與公比 r，即可直接得到總和。如果 \(|r| \geq 1\)，計算機會提示你該級數「發散」——也就是沒有有限總和，因為各項並不會趨近於零。
公式說明
封閉形式的求和公式為 $$S = \frac{a}{1 - r}$$ 僅在 \(|r| < 1\) 時成立。它由有限項的部分和 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) 推導而來。當 \(n\) 無限增大時，只要 \(|r| < 1\)，\(r^n \to 0\)，於是剩下 \(S = \frac{a}{1 - r}\)。若 \(|r| \geq 1\)，\(r^n\) 並不會趨於零，因此部分和會無限增大或來回擺盪，級數隨之發散。
實際範例
假設 \(a = 1\)、\(r = 0.5\)。由於 \(|0.5| < 1\)，級數會收斂。$$S = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$$因此 \(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \ldots = 2\)。
常見問題
如果 r 是負數呢？只要 \(|r| < 1\)，公式依然適用。以 \(a = 3\)、\(r = -0.5\) 為例，$$S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2$$
級數什麼時候會發散？只要 \(|r| \geq 1\)（例如 \(r = 2\) 或 \(r = -1\)）就會發散。此時各項永遠不會趨近於零，因此沒有有限的總和。
如果 a = 0 呢？那麼每一項都是零，總和自然就是 0。
