Công cụ này làm gì
Công cụ này tính hằng số toán học pi bằng cách cộng dồn từng số hạng của một trong ba chuỗi vô hạn hội tụ cực nhanh nổi tiếng: chuỗi thứ nhất của Ramanujan năm 1914, chuỗi thứ hai của Ramanujan năm 1914, hoặc chuỗi của anh em nhà Chudnovsky năm 1987. Điều đáng kinh ngạc ở các chuỗi này là mỗi số hạng được thêm vào đóng góp cùng lúc rất nhiều chữ số thập phân chính xác, nên chỉ cần vài số hạng là đã tái hiện được pi với độ chính xác đầy đủ của số thực dấu phẩy động độ chính xác kép. Đây là toán học thuần túy và áp dụng được ở mọi nơi, không phụ thuộc vào bất kỳ quy tắc vùng miền nào.
Cách sử dụng
Hãy chọn một công thức từ menu thả xuống, đặt số số hạng tối đa cần cộng, rồi chọn số chữ số thập phân muốn hiển thị. Máy tính sẽ cộng lần lượt các số hạng \(n = 0, 1, 2, \ldots\) và dừng sớm ngay khi giá trị pi đang tính không còn thay đổi nữa — điều này thường xảy ra chỉ sau vài số hạng. Vì bộ máy tính dùng số học dấu phẩy động kép theo chuẩn IEEE-754 nên khoảng 15-16 chữ số có nghĩa là đáng tin cậy, bất kể bạn đặt hiển thị bao nhiêu chữ số.
Giải thích công thức
Chuỗi Ramanujan 1 dựng nên nghịch đảo của pi: một hệ số tiền tố không đổi \(\frac{\sqrt{8}}{9801}\) được nhân với một tổng vô hạn, trong đó số hạng thứ \(n\) kết hợp tỉ số giai thừa \(\frac{(4n)!}{(4^n n!)^4}\) với thừa số tuyến tính \((1103 + 26390n)\) chia cho \(99^{4n}\). Công thức đầy đủ là
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$Khi đã biết tổng \(S\), ta khôi phục pi bằng \(\frac{1}{\text{hệ số tiền tố} \cdot S}\). Chuỗi Chudnovsky hoạt động tương tự nhưng hội tụ còn nhanh hơn, mỗi số hạng thêm vào khoảng 14 chữ số chính xác:
$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6n)!\,(13591409 + 545140134n)}{(3n)!\,(n!)^3\,(640320^3)^{n+1/2}}$$
Ví dụ minh họa
Dùng chuỗi Ramanujan 1 với chỉ một số hạng \(n=0\): hệ số tiền tố là \(\frac{\sqrt{8}}{9801} = 0{,}000288583\ldots\), và số hạng \(n=0\) là \(1 \cdot 1103 = 1103\). Vậy \(\frac{1}{\pi} = 0{,}000288583 \cdot 1103 = 0{,}31831\ldots\), suy ra \(\pi = 3{,}14159273\), đã chính xác đến khoảng sáu chữ số thập phân. Thêm số hạng \(n=1\) đưa pi lên \(3{,}14159265358979\), chính xác đến khoảng 16 chữ số.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tăng số chữ số hiển thị mà độ chính xác không tăng? Số thực dấu phẩy động độ chính xác kép chỉ giữ được khoảng 15-16 chữ số có nghĩa; muốn chính xác hơn nữa cần đến số học độ chính xác tùy ý.
Thực sự tôi cần bao nhiêu số hạng? Để đạt độ chính xác kép đầy đủ, chuỗi Ramanujan 1 cần khoảng 2 số hạng, còn Chudnovsky chỉ cần 1-2 số hạng.
Chuỗi nào nhanh nhất? Chudnovsky hội tụ nhanh nhất và chính là thuật toán được dùng cho các kỷ lục tính pi hiện đại.
