라마누잔 원주율(파이) 급수 계산기

계산 입력

공식 라마누잔 1, 1914년 라마누잔 2, 1914년 추드노프스키, 1987년

항의 개수

표시 정밀도(자릿수) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

공식

Show calculation steps (1)

1. Chudnovsky (1987)

   

   Each term adds about 14 correct decimal digits of pi.

결과

원주율(파이) 값

3.141592653589793

상수 파이(π)의 근삿값

더한 항의 개수	4
요청한 표시 자릿수	46

IEEE-754 배정밀도로 계산되므로 유효숫자 약 15~16자리까지가 신뢰할 수 있습니다. 임의 정밀도 연산을 사용하지 않는 한, 표시 자릿수를 더 늘려도 실제 정확도는 높아지지 않습니다.

이 계산기는 무엇을 하나요?

이 도구는 빠르게 수렴하는 세 가지 유명한 무한급수 중 하나를 항별로 더해 수학 상수 원주율(파이, π)을 계산합니다. 선택할 수 있는 급수는 라마누잔의 첫 번째 1914년 급수, 라마누잔의 두 번째 1914년 급수, 그리고 추드노프스키 형제가 1987년에 발표한 급수입니다. 이 급수들이 놀라운 이유는 항을 하나 더할 때마다 한 번에 여러 자리의 정확한 소수점 숫자가 추가된다는 점입니다. 덕분에 단 몇 개의 항만으로도 배정밀도(double) 수준의 정확도까지 파이를 그대로 재현할 수 있습니다. 이는 순수 수학이므로 지역이나 국가에 상관없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.

사용 방법

드롭다운에서 공식을 하나 고르고, 더할 항의 최대 개수와 표시할 소수점 자릿수를 설정하세요. 계산기는 \(n = 0, 1, 2, \ldots\) 순서로 항을 더하다가 파이 값이 더 이상 변하지 않으면 자동으로 계산을 멈추는데, 보통 몇 항 안에서 멈춥니다. 내부 연산은 IEEE-754 배정밀도(double) 방식을 사용하므로, 화면에 표시하는 자릿수 설정과 관계없이 유효숫자 약 15~16자리까지가 신뢰할 수 있는 값입니다.

공식 자세히 보기

라마누잔 1은 파이의 역수(\(1/\pi\))를 만들어 냅니다. 상수 계수 \(\sqrt{8}/9801\)에 무한급수의 합을 곱하는데, 이 급수의 \(n\)번째 항은 계승비 \((4n)!/(4^n \cdot n!)^4\) 와 일차 인수 \((1103 + 26390n)\) 을 \(99^{4n}\) 으로 나눈 값을 결합한 것입니다.

$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$

합 \(S\)를 구하고 나면 파이는 \(1/(\text{계수} \times S)\) 로 복원됩니다. 추드노프스키 공식도 비슷한 방식이지만 수렴이 훨씬 빨라서 항 하나당 약 14자리씩 정확해집니다.

$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6n)!\,(13591409 + 545140134n)}{(3n)!\,(n!)^3\,(640320^3)^{n+1/2}}$$

라마누잔 급수는 각 항마다 정확한 자릿수가 약 8자리씩 늘어나 빠르게 \(1/\pi\)에 가까워진다.

계산 예시

라마누잔 1을 \(n=0\) 항 하나만 써서 계산해 보겠습니다. 계수는 \(\sqrt{8}/9801 = 0.000288583\ldots\) 이고, \(n=0\) 항은 \(1 \times 1103 = 1103\) 입니다. 따라서 \(1/\pi = 0.000288583 \times 1103 = 0.31831\ldots\) 이 되고, 이로부터 \(\pi = 3.14159273\) 을 얻는데, 이미 소수점 약 여섯 자리까지 정확합니다. 여기에 \(n=1\) 항을 더하면 \(\pi = 3.14159265358979\) 가 되어 약 16자리까지 정확해집니다.

항당 얻는 \(\pi\)의 정확한 자릿수: 라이프니츠는 느리고, 라마누잔은 약 8자리, 추드노프스키는 약 14자리.

자주 묻는 질문

자릿수 드롭다운을 늘려도 왜 정확도가 더 올라가지 않나요? 배정밀도 부동소수점은 유효숫자를 약 15~16자리까지만 담을 수 있습니다. 그 이상의 정확도를 얻으려면 임의 정밀도(arbitrary-precision) 연산이 필요합니다.

실제로 항이 몇 개나 필요한가요? 배정밀도 전체 정확도를 얻으려면 라마누잔 1은 약 2개 항, 추드노프스키는 1~2개 항이면 충분합니다.

어떤 급수가 가장 빠른가요? 추드노프스키가 가장 빠르게 수렴하며, 오늘날 원주율 기록 계산에 실제로 사용되는 알고리즘입니다.