라마누잔 원주율 급수 계산기 | 파이를 빠르게 계산

계산 입력

공식

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Chudnovsky (1987)

Each term adds about 14 correct decimal digits of pi.

결과

원주율(파이) 값

3.141592653589793

상수 파이(π)의 근삿값

더한 항의 개수	4
요청한 표시 자릿수	46

IEEE-754 배정밀도로 계산되므로 유효숫자 약 15~16자리까지가 신뢰할 수 있습니다. 임의 정밀도 연산을 사용하지 않는 한, 표시 자릿수를 더 늘려도 실제 정확도는 높아지지 않습니다.

이 계산기는 무엇을 하나요?

이 도구는 빠르게 수렴하는 세 가지 유명한 무한급수 중 하나를 항별로 더해 수학 상수 원주율(파이, π)을 계산합니다. 선택할 수 있는 급수는 라마누잔의 첫 번째 1914년 급수, 라마누잔의 두 번째 1914년 급수, 그리고 추드노프스키 형제가 1987년에 발표한 급수입니다. 이 급수들이 놀라운 이유는 항을 하나 더할 때마다 한 번에 여러 자리의 정확한 소수점 숫자가 추가된다는 점입니다. 덕분에 단 몇 개의 항만으로도 배정밀도(double) 수준의 정확도까지 파이를 그대로 재현할 수 있습니다. 이는 순수 수학이므로 지역이나 국가에 상관없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.

사용 방법

드롭다운에서 공식을 하나 고르고, 더할 항의 최대 개수와 표시할 소수점 자릿수를 설정하세요. 계산기는 $n = 0, 1, 2, \ldots$ 순서로 항을 더하다가 파이 값이 더 이상 변하지 않으면 자동으로 계산을 멈추는데, 보통 몇 항 안에서 멈춥니다. 내부 연산은 IEEE-754 배정밀도(double) 방식을 사용하므로, 화면에 표시하는 자릿수 설정과 관계없이 유효숫자 약 15~16자리까지가 신뢰할 수 있는 값입니다.

공식 자세히 보기

라마누잔 1은 파이의 역수($1/\pi$)를 만들어 냅니다. 상수 계수 $\sqrt{8}/9801$에 무한급수의 합을 곱하는데, 이 급수의 $n$번째 항은 계승비 $(4n)!/(4^n \cdot n!)^4$ 와 일차 인수 $(1103 + 26390n)$ 을 $99^{4n}$ 으로 나눈 값을 결합한 것입니다.

$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$

합 $S$를 구하고 나면 파이는 $1/(\text{계수} \times S)$ 로 복원됩니다. 추드노프스키 공식도 비슷한 방식이지만 수렴이 훨씬 빨라서 항 하나당 약 14자리씩 정확해집니다.

$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6n)!\,(13591409 + 545140134n)}{(3n)!\,(n!)^3\,(640320^3)^{n+1/2}}$$

라마누잔 급수의 항이 작아지며 목표값으로 합산되어 가는 도식 — 라마누잔 급수는 각 항마다 정확한 자릿수가 약 8자리씩 늘어나 빠르게 $1/\pi$에 가까워진다.

계산 예시

라마누잔 1을 $n=0$ 항 하나만 써서 계산해 보겠습니다. 계수는 $\sqrt{8}/9801 = 0.000288583\ldots$ 이고, $n=0$ 항은 $1 \times 1103 = 1103$ 입니다. 따라서 $1/\pi = 0.000288583 \times 1103 = 0.31831\ldots$ 이 되고, 이로부터 $\pi = 3.14159273$ 을 얻는데, 이미 소수점 약 여섯 자리까지 정확합니다. 여기에 $n=1$ 항을 더하면 $\pi = 3.14159265358979$ 가 되어 약 16자리까지 정확해집니다.