Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la constante matemática pi sumando, término a término, una de las tres famosas series infinitas de convergencia ultrarrápida: la primera serie de Ramanujan de 1914, la segunda serie de Ramanujan de 1914 o la serie de los hermanos Chudnovsky de 1987. Lo notable de estas series es que cada término añadido aporta de golpe muchos decimales correctos, de modo que basta un puñado de términos para reproducir pi con toda la precisión de la doble precisión. Es matemática pura y se aplica de forma universal, sin reglas regionales de ningún tipo.
Cómo usarla
Elige una fórmula en el menú desplegable, fija el número máximo de términos que quieres sumar y decide cuántos decimales mostrar. La calculadora va sumando los términos \(n = 0, 1, 2, \ldots\) y se detiene en cuanto el valor de pi deja de cambiar, algo que suele ocurrir en muy pocos términos. Como el motor trabaja con aritmética de doble precisión IEEE-754, puedes fiarte de unas 15 o 16 cifras significativas, independientemente de los decimales que decidas mostrar.
La fórmula explicada
La primera serie de Ramanujan construye el recíproco de pi: un factor constante \(\sqrt{8}/9801\) multiplica una suma infinita cuyo término n-ésimo combina el cociente de factoriales \((4n)!/(4^n n!)^4\) con el factor lineal \((1103 + 26390n)\) dividido por \(99^{4n}\). Una vez conocida la suma \(S\), se recupera pi como \(1/(\text{factor} \cdot S)\). La serie de Chudnovsky funciona de forma parecida, pero converge aún más rápido y añade unos 14 decimales por término.
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$
Ejemplo resuelto
Con la primera serie de Ramanujan y solo el término \(n=0\): el factor es \(\sqrt{8}/9801 = 0{,}000288583\ldots\), y el término \(n=0\) vale \(1 \times 1103 = 1103\). Así,
$$\frac{1}{\pi} = 0{,}000288583 \times 1103 = 0{,}31831\ldots$$lo que da \(\pi = 3{,}14159273\), ya correcto hasta unos seis decimales. Al añadir el término \(n=1\), pi pasa a \(3{,}14159265358979\), correcto hasta unas 16 cifras.
Preguntas frecuentes
¿Por qué subir el número de decimales en el menú no muestra más precisión? El coma flotante de doble precisión solo conserva unas 15 o 16 cifras significativas; para llegar más lejos hace falta aritmética de precisión arbitraria.
¿Cuántos términos necesito de verdad? Para la doble precisión completa, la primera serie de Ramanujan necesita unos 2 términos y la de Chudnovsky basta con 1 o 2.
¿Qué serie es la más rápida? La de Chudnovsky es la que converge más deprisa y es el algoritmo que se usa en los cálculos récord de pi actuales.
