Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la constante matemática pi mediante esquemas iterativos basados en la media aritmético-geométrica (AGM, por sus siglas en inglés). Los métodos AGM convergen muchísimo más rápido que las series clásicas: cada paso del método cuadrático de Gauss-Legendre duplica aproximadamente la cantidad de cifras correctas, el método cuártico de Borwein la cuadruplica y la variante nónica la multiplica por nueve. Se trata de algoritmos numéricos publicados y de uso estándar que funcionan igual en cualquier parte: es matemática pura, sin unidades ni reglas que dependan del país.
Cómo usarla
Elige una fórmula de cálculo (la de Gauss-Legendre cuadrática viene por defecto y basta para casi todo), selecciona el número de cifras que quieras y, si lo deseas, fija un tope de iteraciones máximas (100 es de sobra: con unas 6 iteraciones ya se alcanzan 50 cifras). La calculadora itera hasta que la estimación deja de cambiar con la precisión de trabajo, y entonces muestra el valor de pi, cuántas iteraciones empleó y el tamaño del último cambio entre pasos.
La fórmula explicada
El esquema de Gauss-Legendre (Salamin-Brent, 1976) parte de \(a_0 = 1\), \(b_0 = 1/\sqrt{2}\), \(t_0 = 1/4\) y \(p_0 = 1\). En cada iteración se calcula la nueva media aritmética \(a\), la media geométrica \(b = \sqrt{a\cdot b}\), se actualiza \(t\) restándole \(p\cdot(a - a_{\text{nuevo}})^2\), y se duplica \(p\). La estimación actual es
$$\pi \approx \frac{(a+b)^2}{4\,t}$$Como las medias aritmética y geométrica convergen de forma cuadrática hacia un valor común (la AGM), el error se eleva al cuadrado en cada paso.
Ejemplo resuelto
Partiendo de los valores anteriores con el método cuadrático: la iteración 1 da unos \(3{,}140579\) (3 cifras correctas), la iteración 2 da \(3{,}14159264\) (8 cifras) y la iteración 3 da \(3{,}141592653589793\), toda la precisión disponible en aritmética IEEE de doble precisión. Un cuarto paso ya no produce cambios, así que el bucle se detiene tras 3 iteraciones.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el valor se limita a unas 15 cifras? Esta versión emplea coma flotante de doble precisión IEEE, que ofrece aproximadamente 15-16 cifras significativas. Las cantidades de cifras más altas del menú desplegable indican la precisión objetivo que el esquema AGM subyacente es capaz de alcanzar con aritmética de precisión arbitraria.
¿Los tres métodos dan resultados distintos? No: todos convergen al mismo valor de pi. Solo se diferencian en la rapidez con que llegan (en el número de iteraciones necesarias).
¿Qué es el último cambio entre pasos? Es la magnitud de la diferencia entre las dos últimas estimaciones, una forma rápida de medir cuán ajustada ha quedado la convergencia.
