この計算ツールでできること
このツールは、算術幾何平均（AGM）の反復公式を用いて数学定数である円周率πを計算します。AGMに基づく手法は、古典的な級数展開に比べて桁違いに速く収束するのが特長です。2次のガウス＝ルジャンドル法では1回の反復ごとに正しい桁数がおよそ2倍に、4次のボールウェイン法では4倍に、9次の公式では9倍に増えていきます。いずれも論文で公表されている標準的な数値計算アルゴリズムであり、どこで使っても結果は同じです。これは単位も国・地域による違いもない、純粋な数学の世界です。
使い方
まず「計算式」を選びます（2次のガウス＝ルジャンドル法が既定値で、ほとんどの用途にはこれで十分です）。次に求めたい「桁数」を選び、必要に応じて「最大反復回数」の上限を設定します（100回もあれば十分すぎるほどで、約6回の反復で50桁に到達します）。計算ツールは、作業精度の範囲で推定値が変化しなくなるまで反復を繰り返し、円周率πの値、使用した反復回数、最後の1ステップでの変化量を表示します。
公式の解説
ガウス＝ルジャンドル法（サラミン＝ブレント、1976年）では、初期値を \(a_0 = 1\)、\(b_0 = 1/\sqrt{2}\)、\(t_0 = 1/4\)、\(p_0 = 1\) と設定します。各反復では、新しい算術平均 \(a\) と幾何平均 \(b = \sqrt{a\cdot b}\) を求め、\(t\) から \(p\cdot(a - a_{\text{new}})^2\) を引いて更新し、\(p\) を2倍にします。このときの推定値は $$\pi = \frac{(a + b)^2}{4t}$$ で与えられます。算術平均と幾何平均は共通のAGM値へ2次収束するため、誤差は1ステップごとに2乗のオーダーで小さくなっていきます。
計算例
上記の初期値から2次の手法で計算すると、1回目の反復で約 \(3.140579\)（正しい桁は3桁）、2回目で \(3.14159264\)（8桁）、3回目で \(3.141592653589793\) となり、IEEE倍精度演算で表現できる精度の限界に達します。4回目の反復ではもはや値が変化しないため、3回の反復でループは停止します。
よくある質問
値が15桁程度で頭打ちになるのはなぜ？ この再構築版はIEEE倍精度浮動小数点を使用しており、有効桁数はおよそ15〜16桁です。プルダウンに表示されるそれ以上の桁数は、基となるAGM公式が任意精度演算を用いた場合に到達できる目標精度を示しています。
3つの手法で答えは変わりますか？ いいえ。いずれも同じ円周率πの値に収束します。違うのはそこへ到達する速さ（必要な反復回数）だけです。
「最後のステップ変化量」とは何ですか？ 最後の2つの推定値の差の大きさを表します。反復がどれだけ収束しているかを手早く確認するための目安です。
