ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الثابت الرياضي باي (π) باستخدام خوارزميات المتوسط الحسابي-الهندسي (AGM). تتميّز هذه الطرق بتقارب أسرع بكثير من المتسلسلات التقليدية: ففي طريقة غاوس-ليجندر التربيعية يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل خطوة، وفي طريقة بورواين الرباعية يتضاعف أربع مرات، أما النسخة التساعية فتضربه في تسعة. وهذه خوارزميات عددية معروفة ومنشورة تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان — فهي رياضيات بحتة بلا وحدات قياس ولا ارتباط بأي بلد أو نظام قانوني.
كيفية الاستخدام
اختر صيغة الحساب (غاوس-ليجندر التربيعية هي الافتراضية وتكفي معظم الأغراض)، ثم حدّد عدد الأرقام الذي تريده، ويمكنك اختياريًا ضبط حدٍّ أقصى لعدد التكرارات (قيمة 100 سخيّة للغاية — إذ تكفي نحو 6 تكرارات للوصول إلى 50 رقمًا). تواصل الحاسبة التكرار إلى أن تستقر القيمة التقديرية عند دقة العمل المتاحة، ثم تعرض قيمة باي وعدد التكرارات المستخدمة ومقدار التغيّر في الخطوة الأخيرة.
شرح الصيغة
تبدأ خوارزمية غاوس-ليجندر (سالامين-برِنت، 1976) بالقيم الأولية: \(a_0 = 1\)، و\(b_0 = 1/\sqrt{2}\)، و\(t_0 = 1/4\)، و\(p_0 = 1\). في كل تكرار يُحسب المتوسط الحسابي الجديد \(a\)، ثم المتوسط الهندسي \(b = \sqrt{a\,b}\)، ويُحدَّث \(t\) بطرح المقدار \(p\,(a - a_{\text{new}})^2\)، ثم يُضاعَف \(p\). والقيمة التقديرية الحالية هي $$\pi \approx \frac{(a_{n+1}+b_{n+1})^2}{4\,t_{n+1}}$$ ولأن المتوسطين الحسابي والهندسي يتقاربان تربيعيًا نحو قيمة AGM مشتركة، فإن الخطأ يتربّع في كل خطوة.
مثال محلول
انطلاقًا من القيم المذكورة أعلاه وبالطريقة التربيعية: يعطي التكرار الأول نحو \(3.140579\) (3 أرقام صحيحة)، ويعطي التكرار الثاني \(3.14159264\) (8 أرقام)، ويعطي التكرار الثالث \(3.141592653589793\) — وهي الدقة الكاملة المتاحة في الحساب العشري المزدوج وفق معيار IEEE. ولا تُحدث الخطوة الرابعة أي تغيير، لذا تتوقف الحلقة بعد 3 تكرارات.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتوقف القيمة عند نحو 15 رقمًا؟ تستخدم هذه النسخة حساب الفاصلة العائمة المزدوج وفق معيار IEEE، الذي يحمل نحو 15–16 رقمًا معنويًا. أما الأعداد الأكبر في القائمة المنسدلة فتشير إلى الدقة المستهدفة التي تستطيع خوارزمية AGM بلوغها عند استخدام الحساب بدقة اعتباطية (عالية الدقة).
هل تعطي الطرق الثلاث نتائج مختلفة؟ لا — فجميعها تتقارب إلى القيمة نفسها لباي. والفرق الوحيد بينها هو سرعة الوصول (أي عدد التكرارات اللازمة).
ما المقصود بالتغيّر في الخطوة الأخيرة؟ هو مقدار الفرق بين آخر قيمتين تقديريتين، وهو مؤشر سريع على مدى إحكام تقارب التكرار.
