什么是有限等比数列求和？
等比数列（也叫几何数列）中，每一项都由前一项乘以同一个固定倍数得到，这个倍数称为公比（\(r\)）。把数列各项相加，就得到等比数列的和。所谓有限等比数列求和，指的是只把固定的前 \(n\) 项加起来。本计算器可在已知首项 \(a_1\)、公比 \(r\) 和项数 \(n\) 的情况下，直接算出前 \(n\) 项之和 \(S_n\)。
如何使用本计算器
只需填入三个数值：首项 \(a_1\)（数列的起始值）、公比 \(r\)（相邻两项之间的倍数关系），以及 \(n\)（要相加的项数）。点击「计算」后即可得到总和，同时还会显示末项 \(a_n\) 和 \(r^n\) 的数值，方便核对。整数和小数均可使用，公比 \(r\) 也可以是负数或分数。
公式详解
求和的封闭式公式为：
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$，该公式在 \(r \neq 1\) 时成立。
有了它，就不必逐项相加。当 \(r = 1\) 时，每一项都等于 \(a_1\)，因此总和就是 $$S_n = a_1 \cdot n$$ 本计算器会自动识别这种特殊情况，避免出现除以零的错误。
实例演算
假设 \(a_1 = 2\)，\(r = 3\)，\(n = 5\)。这时各项依次为 2、6、18、54、162。代入公式：\(r^n = 3^5 = 243\)，于是 $$S_n = 2 \cdot \frac{1 - 243}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242$$ 直接把这五项相加（\(2 + 6 + 18 + 54 + 162\)）同样得到 242。✓
常见问题
公比可以是负数吗？可以。负的 \(r\) 会让各项正负交替（例如 \(r = -2\) 时，各项为 \(a_1\)、\(-2a_1\)、\(4a_1\)……），公式依然能正确处理。
如果 r 介于 −1 和 1 之间会怎样？有限求和照样适用。当 \(n\) 不断增大时，总和会逐渐逼近无穷级数的极限 \(\frac{a_1}{1 - r}\)，但本工具始终只精确地求前 \(n\) 项之和。
结果里的 rⁿ 是什么意思？它表示公比的 \(n\) 次幂，是公式中的一个中间值，列出来是为了让计算过程更透明、便于核对。
