이 계산기의 기능
이 도구는 처음 n개의 양의 짝수, 즉 \(2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2n\)을 더해 그 합을 바로 알려줍니다. 항을 하나씩 일일이 더할 필요 없이, 우아한 닫힌 형식의 공식 \(n(n + 1)\)을 사용하기 때문에 n이 아무리 커도 단 한 번의 계산으로 정확한 답을 얻을 수 있습니다.
사용 방법
더하고 싶은 짝수의 개수(n 값)를 입력하고 실행하면 됩니다. 예를 들어 n = 5로 설정하면 처음 다섯 개의 짝수, 즉 \(2 + 4 + 6 + 8 + 10\)을 더합니다. 계산기는 합계는 물론, 항의 개수와 수열에서 가장 큰 짝수(\(2n\))까지 함께 보여줍니다.
공식 풀이
짝수들은 첫째 항이 \(a = 2\)이고 공차가 \(d = 2\)인 등차수열을 이룹니다. 등차수열의 합은 (항의 개수) × (첫째 항 + 마지막 항) ÷ 2로 구할 수 있는데, 여기에 대입하면 \(n \times (2 + 2n) \div 2 = n(1 + n)\)이 됩니다. 따라서 합은 깔끔하게 다음과 같이 정리됩니다.
$$S = n\left(n + 1\right)$$
외우기 쉬운 요령 하나: \(n(n+1) = n^2 + n\)이므로, 처음 n개 짝수의 합은 언제나 n의 제곱보다 정확히 n만큼 큽니다.
예제로 확인하기
n = 10이라고 해봅시다. 처음 열 개의 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20입니다. 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
$$S = 10 \times (10 + 1) = 10 \times 11 = 110$$
직접 손으로 더해 봐도 \(2 + 4 + \dots + 20 = 110\)으로 일치합니다.
자주 묻는 질문
홀수의 합과 같은 건가요? 아닙니다. 처음 n개 홀수의 합은 \(n^2\)인 반면, 처음 n개 짝수의 합은 \(n(n + 1) = n^2 + n\)으로 정확히 n만큼 더 큽니다.
0도 짝수로 세나요? 아닙니다. 이 계산기는 2부터 시작하는 양의 짝수만 세므로, 첫 번째 짝수는 2이고 n번째 짝수는 \(2n\)입니다.
n = 0을 입력하면 어떻게 되나요? 항이 하나도 없는 수열의 합은 0이며, 공식상 \(0 \times 1 = 0\)이 되므로 정확히 0을 돌려줍니다.
