ماذا تفعل هذه الحاسبة
تجمع هذه الأداة أول n من الأعداد الزوجية الموجبة — أي 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n — وتعرض الناتج في لحظة. وبدلًا من جمع كل حدّ على حدة، تعتمد على الصيغة المختصرة الأنيقة \(n(n + 1)\)، التي تمنحك الجواب الدقيق في خطوة واحدة مهما كانت قيمة n كبيرة.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد الأعداد الزوجية التي تريد جمعها (قيمة n) ثم اضغط على زر الحساب. على سبيل المثال، اجعل n = 5 لجمع أول خمسة أعداد زوجية: 2 + 4 + 6 + 8 + 10. تعرض الحاسبة المجموع الكلي، وعدد الحدود، وأكبر عدد زوجي في المتسلسلة (2n).
شرح الصيغة
تُكوّن الأعداد الزوجية متسلسلة حسابية حدّها الأول a = 2 وأساسها (الفرق المشترك) d = 2. ومجموع المتسلسلة الحسابية يساوي (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير) ÷ 2. وهنا يكون: \(n \times (2 + 2n) \div 2 = n(1 + n)\). وبذلك يتبسّط المجموع بشكل أنيق إلى $$S = n(n + 1)$$ وثمّة طريقة سهلة لتذكّرها: مجموع أول n عدد زوجي يزيد دائمًا بمقدار n عن مربّع n، لأن \(n(n+1) = n^2 + n\).
مثال محلول
لنفترض أن n = 10. فإن أول عشرة أعداد زوجية هي 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20. وبتطبيق الصيغة: $$S = 10 \times (10 + 1) = 10 \times 11 = 110$$ وبجمعها يدويًا نتأكد أن \(2 + 4 + ... + 20 = 110\).
الأسئلة الشائعة
هل هذا مثل مجموع الأعداد الفردية؟ لا. فمجموع أول n عدد فردي يساوي \(n^2\)، بينما مجموع أول n عدد زوجي يساوي \(n(n + 1) = n^2 + n\) — أي أكبر بمقدار n بالضبط.
هل يُحتسب الصفر عددًا زوجيًا؟ لا. تحسب هذه الأداة الأعداد الزوجية الموجبة بدءًا من 2، فيكون أول عدد زوجي هو 2 والعدد رقم n هو 2n.
ماذا لو أدخلت n = 0؟ المتسلسلة الفارغة مجموعها 0، وهو ما تعيده الصيغة بدقّة لأن \(0 \times 1 = 0\).
