底の変換公式とは？
ほとんどの電卓やプログラミングのライブラリには、自然対数（ln、底はe）と常用対数（log、底は10）の2種類しか用意されていません。底の変換公式を使えば、すでに使えるこの2つの対数を割り算するだけで、どんな底でも対数を求められます。具体的には、\(\log_b(x)\) は \(\ln(x)\) を \(\ln(b)\) で割った値に等しい、という公式です。$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$ この計算機はまさにその計算を行います。値 \(x\) と底 \(b\) を入力すれば、\(\log_b(x)\) を返します。
この計算機の使い方
対数を求めたい数を値（x）の欄に入力し、続いて底（b）を入力します。たとえば 8 の底 2 の対数を求めたいときは、\(x = 8\)、\(b = 2\) と設定します。途中計算である \(\ln(x)\) と \(\ln(b)\) の値も表示されるので、計算の流れを確認できます。なお、値 \(x\) は正の数でなければならず、底 \(b\) は正の数かつ 1 以外である必要があります。
公式の仕組み
対数とは、「\(x\) を得るには \(b\) を何乗すればよいか？」という問いの答えです。底の変換公式が成り立つのは、異なる底の対数が互いに比例関係にあるためです。\(\ln(x)\) を \(\ln(b)\) で割ると、底 \(e\) に由来する倍率が打ち消され、底 \(b\) における指数だけが残ります。分子と分母で同じ底を使えばどんな底でも構いませんが、自然対数を使うのが最も便利というだけのことです。
計算例
\(\log_2(8)\) を求めてみましょう。自然対数を使うと、\(\ln(8) \approx 2.079442\)、\(\ln(2) \approx 0.693147\) です。これを割ると $$2.079442 \div 0.693147 \approx 3$$ となります。\(2^3 = 8\) なので、この結果は理にかなっています。
よくある質問
なぜ底に 1 を使えないのですか？ 底が 1 の対数は定義されないからです。1 は何乗しても必ず 1 になるため、指数が一意に定まりません。また、\(\ln(1) = 0\) なので、割り算ではゼロで割ることになってしまいます。
x を負の数や 0 にできますか？ いいえ。0 や負の数の対数は、実数の範囲では定義されません。
ln を使うか log10 を使うかで結果は変わりますか？ 変わりません。分子と分母で同じ底を使っている限り、答えは同じになります。
