Что такое формула перехода к новому основанию?
Большинство калькуляторов и библиотек языков программирования умеют считать только два логарифма: натуральный (ln, основание e) и десятичный (log, основание 10). Формула перехода к новому основанию позволяет вычислить логарифм по любому основанию, просто разделив два уже доступных логарифма. Она гласит: \(\log_b x\) равен \(\ln x\), делённым на \(\ln b\):
$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$Именно это и делает наш калькулятор — введите число \(x\) и основание \(b\), и он выдаст \(\log_b x\).
Как пользоваться калькулятором
Введите число, логарифм которого нужно найти, в поле Число (x), а затем укажите Основание (b). Например, чтобы найти логарифм 8 по основанию 2, задайте \(x = 8\) и \(b = 2\). Калькулятор также показывает промежуточные значения \(\ln x\) и \(\ln b\), чтобы вы могли проследить за вычислениями. Число \(x\) должно быть положительным, а основание — положительным и не равным 1.
Разбор формулы
Логарифм отвечает на вопрос: «в какую степень нужно возвести \(b\), чтобы получить \(x\)?» Формула перехода к новому основанию работает потому, что логарифмы по разным основаниям пропорциональны друг другу. При делении \(\ln x\) на \(\ln b\) масштабный коэффициент основания e сокращается, и остаётся показатель степени по основанию \(b\). В числителе и знаменателе можно использовать любое одинаковое основание — натуральный логарифм просто самый удобный вариант.
Пример вычисления
Найдём \(\log_2 8\). Через натуральные логарифмы: \(\ln 8 \approx 2{,}079442\) и \(\ln 2 \approx 0{,}693147\). Деление даёт
$$\frac{2{,}079442}{0{,}693147} \approx 3$$Это логично, ведь \(2^3 = 8\).
Частые вопросы
Почему основание не может быть равно 1? Потому что логарифм по основанию 1 не определён: единица в любой степени всегда даёт единицу, поэтому однозначного показателя степени не существует. К тому же деление на \(\ln 1 = 0\) привело бы к делению на ноль.
Может ли x быть отрицательным или нулём? Нет. Логарифм нуля или отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Важно ли, что использовать — ln или log10? Нет. Пока вы применяете одно и то же основание в числителе и знаменателе, результат будет одинаковым.
