Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет логарифм любого положительного числа b по любому допустимому основанию a. Обычные калькуляторы, как правило, умеют считать только десятичный логарифм (log по основанию 10) и натуральный (ln по основанию e). Благодаря формуле перехода к новому основанию вы сможете найти логарифм по любому основанию — по основанию 2 для задач информатики, по основанию 16 или по любому другому, которое вам нужно.
Как пользоваться
Введите основание a (любое положительное число, кроме 1) и число b (любое положительное число). Калькулятор покажет \(\log_a(b)\), а вместе с ним и промежуточные натуральные логарифмы \(\ln(b)\) и \(\ln(a)\), чтобы вы могли проверить расчёт. Результат отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести a, чтобы получить b?»
Разбор формулы
Формула перехода к новому основанию гласит: $$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$ Поскольку натуральный логарифм (как и логарифм с любым фиксированным основанием) есть на любом инженерном калькуляторе, деление \(\ln(b)\) на \(\ln(a)\) переводит результат к основанию a. Тот же ответ получится и с десятичным логарифмом: $$\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$ Отношение остаётся неизменным, какое бы промежуточное основание вы ни выбрали.
Пример с решением
Допустим, нужно найти \(\log_2(8)\). По формуле: \(\ln(8) \approx 2{,}0794415\) и \(\ln(2) \approx 0{,}6931472\). После деления получаем $$\frac{2{,}0794415}{0{,}6931472} = 3$$ Это логично, ведь \(2^3 = 8\). Ещё пример: $$\log_5(125) = \frac{\ln(125)}{\ln(5)} = \frac{4{,}8283137}{1{,}6094379} = 3$$ так как \(5^3 = 125\).
Частые вопросы
Почему основание должно быть положительным и не равным 1? Логарифм определён только для положительных оснований, отличных от 1. При основании 1 получилось бы \(\ln(a) = 0\), а это деление на ноль.
Может ли b быть отрицательным или равным нулю? Нет. Логарифм неположительного числа в области действительных чисел не определён, поэтому b должно быть больше 0.
Будет ли ответ одинаковым, если делить через ln или через log? Да. Значение \(\log_a(b)\) одно и то же, считаете вы отношение через натуральные или через десятичные логарифмы — выбор промежуточного основания сокращается.
