À quoi sert cette calculatrice
Cet outil calcule le logarithme de n'importe quelle valeur positive b dans n'importe quelle base valide a. Les calculatrices classiques ne proposent généralement que la base 10 (log) et la base e (ln). Avec la formule de changement de base, vous pouvez calculer un logarithme dans n'importe quelle base : la base 2 pour l'informatique, la base 16, ou toute autre base dont vous avez besoin.
Comment l'utiliser
Saisissez la base a (un nombre positif différent de 1) et la valeur b (un nombre positif). La calculatrice renvoie \(\log_a(b)\), ainsi que les logarithmes naturels intermédiaires \(\ln(b)\) et \(\ln(a)\) pour que vous puissiez vérifier le calcul. Le résultat répond à la question : « À quelle puissance dois-je élever a pour obtenir b ? »
La formule expliquée
La formule de changement de base indique que $$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$ Comme les logarithmes naturels (ou tout logarithme à base fixe) sont disponibles sur n'importe quelle calculatrice scientifique, diviser \(\ln(b)\) par \(\ln(a)\) permet de convertir le résultat en base a. On obtient le même résultat avec le logarithme décimal (base 10) : $$\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$ Le rapport reste identique, quelle que soit la base intermédiaire utilisée.
Exemple résolu
Supposons que vous cherchiez \(\log_2(8)\). En appliquant la formule : \(\ln(8) \approx 2{,}0794415\) et \(\ln(2) \approx 0{,}6931472\). La division donne $$\frac{2{,}0794415}{0{,}6931472} = 3$$ C'est logique, car \(2^3 = 8\). Autre exemple : $$\log_5(125) = \frac{\ln(125)}{\ln(5)} = \frac{4{,}8283137}{1{,}6094379} = 3$$ puisque \(5^3 = 125\).
Questions fréquentes
Pourquoi la base doit-elle être positive et différente de 1 ? Les logarithmes ne sont définis que pour des bases positives autres que 1. Une base égale à 1 donnerait \(\ln(a) = 0\), ce qui entraînerait une division par zéro.
b peut-il être négatif ou nul ? Non. Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'est pas défini dans l'ensemble des réels ; b doit donc être strictement supérieur à 0.
Le résultat est-il le même que je divise par ln ou par log ? Oui. \(\log_a(b)\) est identique que vous utilisiez le logarithme naturel ou le logarithme décimal dans le rapport : le choix de la base intermédiaire s'annule.
