Что такое разность кубов?
Разностью кубов называют любое выражение вида \(a^3 - b^3\). У него есть устойчивая формула разложения, которая превращает его в произведение двучлена и трёхчлена: $$a^3 - b^3 = \left(a - b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right)$$ Калькулятор принимает значения a и b (кубические корни обоих слагаемых) и сразу выдаёт полностью разложенную форму, каждое отдельное слагаемое и числовой результат.
Как пользоваться калькулятором
Введите a — кубический корень из первого слагаемого, и b — кубический корень из второго. Например, чтобы разложить \(8x^3 - 27\), представьте выражение как \((2x)^3 - 3^3\), то есть \(a = 2\) и \(b = 3\) (переменную при этом учитываем отдельно). Для чисто числовых задач достаточно ввести два базовых числа. Инструмент вычисляет \((a - b)\), \(a^2\), \(ab\) и \(b^2\), после чего собирает разложение и значение \(a^3 - b^3\).
Разбор формулы
Трёхчлен \(a^2 + ab + b^2\) нельзя разложить дальше в области действительных чисел (его дискриминант отрицателен) — именно поэтому формула так удобна. Обратите внимание на правило знаков: в двучлене стоит тот же знак, что и в исходном выражении (минус), а в трёхчлене все слагаемые всегда со знаком плюс. Это отличает разность кубов от суммы кубов, которая раскладывается как \(\left(a + b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right)\).
Разбор примера
Разложим \(27 - 8\). Здесь \(a^3 = 27\), значит \(a = 3\), а \(b^3 = 8\), значит \(b = 2\). Тогда \(a - b = 1\), \(a^2 = 9\), \(ab = 6\), \(b^2 = 4\). Разложение принимает вид $$\left(3 - 2\right)\left(9 + 6 + 4\right) = \left(1\right)\left(19\right) = 19,$$ что совпадает с \(27 - 8 = 19\).
Частые вопросы
Что если a равно b? Тогда \(a - b = 0\), и всё выражение обращается в 0 — разложенная форма это корректно показывает.
Могут ли a и b быть дробными или отрицательными? Да. Формула работает для любых действительных чисел, и калькулятор справляется с дробями и отрицательными значениями.
Чем это отличается от суммы кубов? Сумма кубов \(a^3 + b^3\) раскладывается как \(\left(a + b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right)\) — знаки в двучлене и в среднем члене трёхчлена меняются на противоположные.
