tanh फंक्शन क्या है?
हाइपरबोलिक टैंजेंट, जिसे \(\tanh(x)\) लिखा जाता है, एक चिकना S-आकार वाला (सिग्मॉइडल) फंक्शन है जो हर वास्तविक संख्या x के लिए परिभाषित होता है। इसे घातांकीय राशियों \(e^x\) और \(e^{-x}\) के अंतर और योग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका परिणाम हमेशा सख्ती से -1 और 1 के बीच रहता है, और यह एक विषम (odd) फंक्शन है, यानी \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\)। मशीन लर्निंग में tanh एक लोकप्रिय न्यूरॉन एक्टिवेशन फंक्शन है क्योंकि यह शून्य-केंद्रित (zero-centered) होता है, जिससे ग्रेडिएंट-आधारित ट्रेनिंग अक्सर 0-से-1 वाले सिग्मॉइड की तुलना में तेज़ी से कन्वर्ज होती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
x के लिए कोई भी वास्तविक संख्या दर्ज करें और यह टूल तुरंत \(\tanh(x)\) के साथ दो वैकल्पिक अवकलज भी देता है, जो कैलकुलस, भौतिकी और बैक-प्रोपेगेशन में उपयोगी हैं। ऋणात्मक संख्याएँ, दशमलव और बहुत बड़े मान — सभी स्वीकार किए जाते हैं। बड़े धनात्मक x के लिए मान +1 की ओर संतृप्त (saturate) हो जाता है; बड़े ऋणात्मक x के लिए यह -1 की ओर संतृप्त होता है।
सूत्र की व्याख्या
मूल परिभाषा है $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ हर (denominator) हमेशा कम से कम 2 होता है, इसलिए कभी भी शून्य से भाग की समस्या नहीं आती। पहला अवकलज एक सुंदर सर्वसमिका का पालन करता है: $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)$$ जिसे \(\operatorname{sech}^2(x)\) भी लिखते हैं। दोबारा अवकलन करने पर दूसरा अवकलज मिलता है: $$f''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ बहुत बड़े \(|x|\) के लिए संख्यात्मक स्थिरता बनाए रखने हेतु, ओवरफ्लो से बचने के लिए आंतरिक रूप से \(e^{-2x}\) पर आधारित पुनर्गठित सूत्र का उपयोग किया जाता है।
हल किया गया उदाहरण (x = 0.5)
\(e^{0.5} = 1.6487212707\) और \(e^{-0.5} = 0.6065306597\) का उपयोग करते हुए, $$\tanh(0.5) = \frac{1.0421906110}{2.2552519304} = 0.4621171573$$ पहला अवकलज है $$1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477623$$ और दूसरा अवकलज है $$-2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477623 = -0.7269989018$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
tanh का परास (range) क्या है? खुला अंतराल (-1, 1); यह सिरों के निकट पहुँचता है पर उन्हें कभी छूता नहीं।
tanh(0) कितना होता है? ठीक 0, जहाँ \(f'(0) = 1\) और \(f''(0) = 0\)।
सिग्मॉइड के बजाय tanh क्यों इस्तेमाल करें? tanh शून्य-केंद्रित होता है (इसके परिणाम 0 के चारों ओर सममित रहते हैं), जिससे न्यूरल नेटवर्क की लर्निंग तेज़ हो सकती है, जबकि लॉजिस्टिक सिग्मॉइड केवल 0 और 1 के बीच धनात्मक मान ही देता है।
