यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी वास्तविक संख्या x पर हाइपरबोलिक टैन्जेंट फ़ंक्शन का दूसरा अवकलज, यानी \(\tanh''(x)\), निकालता है। हाइपरबोलिक टैन्जेंट \(f(x) = \tanh(x)\) एक स्मूद, S-आकार का फ़ंक्शन है जो हमेशा -1 और 1 के बीच सीमित रहता है। न्यूरल नेटवर्क में इसे एक्टिवेशन फ़ंक्शन के रूप में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है, इसलिए ग्रेडिएंट फ़्लो और वक्रता (curvature) को समझने के लिए इसके पहले और दूसरे अवकलज काफ़ी अहम होते हैं। मुख्य परिणाम के साथ-साथ यह कैलकुलेटर \(\tanh(x)\) का मान और पहला अवकलज \(\tanh'(x)\) भी दिखाता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
x की कोई भी वास्तविक मान दर्ज करें — धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य — और कैलकुलेटर तीन संख्याएँ लौटाएगा: \(\tanh(x)\), इसका पहला अवकलज \(\tanh'(x)\), और दूसरा अवकलज \(\tanh''(x)\)। यहाँ किसी इकाई (unit) की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि x और सभी परिणाम विमारहित (dimensionless) होते हैं।
सूत्र की व्याख्या
\(f(x) = \tanh(x)\) से शुरू करते हुए, पहला अवकलज होता है \(f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)\), जो \(\operatorname{sech}^{2}(x)\) के बराबर भी है। चेन रूल से एक बार और अवकलन करने पर मिलता है $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ समान रूप से, \(f''(x) = -2\tanh(x)\operatorname{sech}^{2}(x)\)। गणना में सीधे \(t = \tanh(x)\) का उपयोग होता है, जो बड़े \(|x|\) के लिए भी संख्यात्मक रूप से स्थिर (numerically stable) रहता है और शून्य से भाग की समस्या से बचाता है, क्योंकि \(e^{x} + e^{-x}\) हमेशा कम से कम 2 होता है।
हल किया हुआ उदाहरण (x = 0.5)
\(\tanh(0.5) = 0.4621172\)। फिर $$f'(0.5) = 1 - 0.4621172^{2} = 0.7864477,$$ और $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621172 \times 0.7864477 = -0.7270051.$$ यहाँ दूसरा अवकलज ऋणात्मक है क्योंकि x धनात्मक है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(\tanh''(0)\) शून्य क्यों होता है? x = 0 पर \(\tanh(0) = 0\) होता है, इसलिए सूत्र में मौजूद \(\tanh(x)\) का गुणनखंड पूरे व्यंजक को शून्य बना देता है। फ़ंक्शन \(f''\) एक विषम (odd) फ़ंक्शन है, यानी \(f''(-x) = -f''(x)\)।
बहुत बड़े x पर क्या होता है? \(\tanh(x)\) +1 या -1 की ओर संतृप्त (saturate) हो जाता है, इसलिए पहला और दूसरा दोनों अवकलज 0 की ओर पहुँच जाते हैं। यही "वैनिशिंग ग्रेडिएंट" (vanishing gradient) व्यवहार है, जो गहरे न्यूरल नेटवर्क में मायने रखता है।
क्या दूसरा अवकलज कभी अपरिभाषित होता है? नहीं। tanh सभी वास्तविक संख्याओं पर स्मूद है, इसलिए इसके अवकलज हर जगह मौजूद रहते हैं।
