ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب المشتقة الثانية لدالة الظل الزائدي، أي ''tanh(x)، عند أي عدد حقيقي x. دالة الظل الزائدي f(x) = tanh(x) هي دالة ملساء على شكل حرف S تتراوح قيمها بين -1 و1. وتُستخدم على نطاق واسع كدالة تنشيط في الشبكات العصبية، ولذلك تكتسب مشتقتاها الأولى والثانية أهمية كبيرة في فهم تدفق المتدرّج (gradient) وانحناء الدالة. وإلى جانب النتيجة الأساسية، تعرض الحاسبة أيضًا قيمة tanh(x) نفسها والمشتقة الأولى ('tanh(x.
طريقة الاستخدام
أدخل أي قيمة حقيقية لـ \(x\) — موجبة أو سالبة أو صفرًا — وستعيد لك الحاسبة ثلاثة أرقام: قيمة \(\tanh(x)\)، ومشتقتها الأولى ('tanh(x، ومشتقتها الثانية (''tanh(x. لا حاجة لإدخال أي وحدات لأن \(x\) وجميع النتائج عديمة الأبعاد.
شرح الصيغة الرياضية
انطلاقًا من \(f(x) = \tanh(x)\)، تكون المشتقة الأولى هي \(f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)\)، وهي تساوي أيضًا \(\operatorname{sech}^{2}(x)\). وبالاشتقاق مرة أخرى باستخدام قاعدة السلسلة نحصل على $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ أو بصيغة مكافئة \(f''(x) = -2\tanh(x)\operatorname{sech}^{2}(x)\). يعتمد الحساب على القيمة \(t = \tanh(x)\) مباشرة، وهو أسلوب مستقر عدديًا حتى عند القيم الكبيرة لـ \(|x|\)، ويتجنّب القسمة على صفر، إذ إن المقدار \(e^{x} + e^{-x}\) لا يقل أبدًا عن 2.
مثال محلول (x = 0.5)
\(\tanh(0.5) = 0.4621172\). ومنه $$f'(0.5) = 1 - 0.4621172^{2} = 0.7864477$$ وكذلك $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621172 \times 0.7864477 = -0.7270051$$ وتأتي المشتقة الثانية سالبة هنا لأن قيمة \(x\) موجبة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي (''tanh(0 صفرًا؟ عند \(x = 0\) يكون \(\tanh(0) = 0\)، وبالتالي فإن عامل \(\tanh(x)\) في الصيغة يجعل المقدار كله يساوي صفرًا. كما أن الدالة \(f''\) فردية، أي إن \(f''(-x) = -f''(x)\).
ماذا يحدث عند القيم الكبيرة جدًا لـ x؟ تتشبّع قيمة \(\tanh(x)\) نحو +1 أو -1، ولذلك تقترب كل من المشتقة الأولى والثانية من الصفر. وهذا هو سلوك "تلاشي المتدرّج" (vanishing gradient) المهم في الشبكات العصبية العميقة.
هل تكون المشتقة الثانية غير معرّفة في أي حالة؟ لا. فدالة \(\tanh\) ملساء على كامل مجموعة الأعداد الحقيقية، ولذلك توجد مشتقاتها عند كل نقطة.
