ما هي حاسبة الظل الزائدي؟
الظل الزائدي، ويُكتب \(\tanh(x)\)، هو واحد من الدوال الزائدية الأساسية. تحوّل هذه الدالة أي عدد حقيقي x إلى قيمة محصورة تمامًا بين -1 و1، ما يجعلها دالة ناعمة ذات منحنى على شكل حرف S (دالة سينية الشكل). تحسب هذه الأداة قيمة \(\tanh(x)\) لأي مُدخَل، كما تعرض الدالتين المرافقتين \(\sinh(x)\) و\(\cosh(x)\).
كيفية الاستخدام
أدخل أي عدد حقيقي في خانة x — سواء كان موجبًا أو سالبًا أو عددًا عشريًا أو صفرًا — لتحصل على قيمة \(\tanh(x)\) إلى جانب \(\sinh(x)\) و\(\cosh(x)\). لا حاجة لإدخال أي وحدات، فهذه دوال رياضية بحتة.
شرح الصيغة
يُعرَّف الظل الزائدي مباشرة انطلاقًا من الدالة الأسّية:
$$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$
وهو نسبة الجيب الزائدي، \(\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\)، إلى جيب التمام الزائدي، \(\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\). فكلما كبرت قيمة x في الاتجاه الموجب اقتربت \(\tanh(x)\) من 1، وكلما كبرت في الاتجاه السالب اقتربت من -1، أما عند \(x = 0\) فإن \(\tanh(0) = 0\).
مثال محلول
عند \(x = 1\): لدينا \(e^{1} \approx 2.718282\) و\(e^{-1} \approx 0.367879\). ومن ثمّ $$\tanh(1) = \frac{2.718282 - 0.367879}{2.718282 + 0.367879} = \frac{2.350402}{3.086161} \approx 0.761594.$$ كما تعرض الحاسبة \(\sinh(1) \approx 1.175201\) و\(\cosh(1) \approx 1.543081\).
الأسئلة الشائعة
ما هو مجال قيم \(\tanh(x)\)؟ تقع النتيجة دائمًا ضمن المجال المفتوح (-1، 1)، مهما بلغت قيمة x من الكبر.
هل tanh دالة فردية؟ نعم. إذ إن \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\)، فهي متماثلة حول نقطة الأصل.
أين تُستخدم دالة tanh؟ تظهر في الشبكات العصبية كدالة تنشيط، وفي الفيزياء لوصف جمع السرعات النسبية، وكذلك في حلول المعادلات التفاضلية.
