Công cụ này làm gì
Công cụ này tính đạo hàm bậc hai của hàm tang hyperbolic, tanh''(x), tại bất kỳ số thực x nào. Hàm tang hyperbolic, \(f(x) = \tanh(x)\), là một hàm trơn, có dạng chữ S và bị chặn trong khoảng từ -1 đến 1. Nó được dùng rất phổ biến làm hàm kích hoạt (activation function) trong mạng nơ-ron, nên đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó có vai trò quan trọng trong việc hiểu cách lan truyền gradient và độ cong. Bên cạnh kết quả chính, máy tính còn cho biết giá trị \(\tanh(x)\) và đạo hàm bậc nhất \(\tanh'(x)\).
Cách sử dụng
Nhập một giá trị thực bất kỳ cho x — dương, âm hoặc bằng 0 — và máy tính sẽ trả về ba con số: \(\tanh(x)\), đạo hàm bậc nhất \(\tanh'(x)\) và đạo hàm bậc hai \(\tanh''(x)\). Bạn không cần nhập đơn vị nào vì cả x lẫn mọi kết quả đều là đại lượng không thứ nguyên.
Giải thích công thức
Xuất phát từ \(f(x) = \tanh(x)\), đạo hàm bậc nhất là \(f'(x) = 1 - \tanh^2(x)\), cũng chính bằng \(\operatorname{sech}^2(x)\). Lấy đạo hàm thêm một lần nữa bằng quy tắc dây chuyền, ta được
$$\frac{d^2}{dx^2}\tanh(x) = -2\tanh\!\left(x\right)\left(1 - \tanh^{2}\!\left(x\right)\right)$$Tương đương, \(f''(x) = -2\tanh(x)\operatorname{sech}^2(x)\). Phép tính sử dụng trực tiếp \(t = \tanh(x)\), cách làm này ổn định về mặt số học ngay cả với \(|x|\) lớn và tránh được mọi trường hợp chia cho 0, vì \(e^x + e^{-x}\) luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Ví dụ minh họa (x = 0.5)
\(\tanh(0.5) = 0.4621172\). Khi đó \(f'(0.5) = 1 - 0.4621172^2 = 0.7864477\), và
$$f''(0.5) = -2 \times 0.4621172 \times 0.7864477 = -0.7270051$$Đạo hàm bậc hai mang giá trị âm ở đây vì x dương.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tanh''(0) bằng 0? Tại x = 0, ta có \(\tanh(0) = 0\), nên thừa số \(\tanh(x)\) trong công thức làm cho toàn bộ biểu thức bằng 0. Hàm \(f''\) là hàm lẻ, nghĩa là \(f''(-x) = -f''(x)\).
Điều gì xảy ra khi x rất lớn? tanh(x) bão hòa dần về +1 hoặc -1, nên cả đạo hàm bậc nhất lẫn bậc hai đều tiến về 0. Đây chính là hiện tượng "tiêu biến gradient" (vanishing gradient) thường gặp trong các mạng nơ-ron sâu.
Đạo hàm bậc hai có khi nào không xác định không? Không. Hàm tanh trơn trên toàn bộ tập số thực, nên các đạo hàm của nó tồn tại tại mọi điểm.
