Sonuç

İkinci Türev tanh''(x)

-0,72686198

boyutsuz

tanh(x)	0,46211716
tanh'(x) = 1 - tanh^2(x)	0,78644773
tanh''(x) = -2 tanh(x)(1 - tanh^2(x))	-0,72686198

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, hiperbolik tanjant fonksiyonunun ikinci türevi olan $\tanh''(x)$ değerini herhangi bir reel $x$ sayısı için hesaplar. Hiperbolik tanjant, $f(x) = \tanh(x)$, -1 ile 1 arasında sınırlı, pürüzsüz ve S biçimli bir fonksiyondur. Yapay sinir ağlarında aktivasyon fonksiyonu olarak yaygın biçimde kullanıldığından, birinci ve ikinci türevleri gradyan akışını ve eğriliği anlamak açısından büyük önem taşır. Hesaplayıcı, ana sonucun yanı sıra $\tanh(x)$ değerini ve birinci türev $\tanh'(x)$ değerini de gösterir.

Nasıl kullanılır?

$x$ için herhangi bir reel değer girin; pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Hesaplayıcı size üç sayı döndürür: $\tanh(x)$, birinci türevi $\tanh'(x)$ ve ikinci türevi $\tanh''(x)$. Hem $x$ hem de tüm çıktılar boyutsuz olduğundan herhangi bir birim girmenize gerek yoktur.

Formülün açıklaması

$f(x) = \tanh(x)$ ifadesinden başlayalım. Birinci türev $f'(x) = 1 - \tanh^2(x)$ olup bu aynı zamanda $\operatorname{sech}^2(x)$ değerine eşittir. Zincir kuralıyla bir kez daha türev alındığında $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^2(x)\right)$$ elde edilir. Eşdeğer olarak $f''(x) = -2\tanh(x)\operatorname{sech}^2(x)$ yazılabilir. Hesaplama doğrudan $t = \tanh(x)$ üzerinden yapılır; bu yöntem büyük $|x|$ değerlerinde bile sayısal olarak kararlıdır ve $e^x + e^{-x}$ ifadesi her zaman en az 2 olduğundan sıfıra bölme riski taşımaz.

Reklam

tanh(x), birinci türevi ve ikinci türevinin grafikleri — tanh(x) (S eğrisi), çan biçimli birinci türevi ve x = 0'da sıfırı kesen antisimetrik ikinci türevi.

Çözümlü örnek (x = 0,5)

$\tanh(0{,}5) = 0{,}4621172$. Buradan $$f'(0{,}5) = 1 - 0{,}4621172^2 = 0{,}7864477$$ ve $$f''(0{,}5) = -2 \times 0{,}4621172 \times 0{,}7864477 = -0{,}7270051$$ bulunur. $x$ pozitif olduğu için ikinci türev burada negatif çıkar.

Örnek bir x değerinde ikinci türev eğrisi üzerinde işaretlenmiş nokta — İkinci türev eğrisinin yüksekliğini okuyarak seçilen bir x'te tanh''(x) değerini bulma.

Sıkça sorulan sorular

tanh''(0) neden sıfırdır? $x = 0$ olduğunda $\tanh(0) = 0$ olur; dolayısıyla formüldeki $\tanh(x)$ çarpanı tüm ifadeyi sıfıra indirger. $f''$ tek fonksiyondur; yani $f''(-x) = -f''(x)$ eşitliği geçerlidir.

x çok büyük olduğunda ne olur? $\tanh(x)$ değeri +1 ya da -1'e doğru doygunluğa ulaşır; bu nedenle hem birinci hem de ikinci türev 0'a yaklaşır. Bu durum, derin sinir ağlarında karşılaşılan "kaybolan gradyan" (vanishing gradient) davranışıyla yakından ilgilidir.

İkinci türev tanımsız olabilir mi? Hayır. $\tanh$ tüm reel sayılarda pürüzsüz bir fonksiyondur; bu nedenle türevleri her noktada mevcuttur.

İlgili hesap makineleri

Hata Payı Hesaplama

Anket ve araştırma sonuçlarınız için hata payını saniyeler içinde hesaplayın. Örneklem büyüklüğü, güven düzeyi ve oranla güven aralığını kolayca bulun.

Bir Sayının Yüzdesi Hesaplama Aracı

Bir sayının belirli bir yüzdesini saniyeler içinde bulun. Yüzdeyi ve sayıyı girin, bu ücretsiz araçla kesin sonucu anında öğrenin.

Doğrusal Denklem Hesaplama Aracı

y = mx + b doğrusunda eğim m, y-kesişimi b ve x değerinden y'yi anında hesaplayın. Değerleri girin, y koordinatını saniyeler içinde öğrenin.

Çarpan Faktörü Hesaplama Aracı

İlk ve son değeri girin, çarpan faktörünü (son ÷ ilk) anında bulun. Ölçekleme, büyüme kıyaslaması ve dönüştürme için pratik bir araç.

Örneklem Büyüklüğü Hesaplama Aracı

Araştırmanız için ideal örneklem büyüklüğünü hesaplayın. Evren büyüklüğü, güven düzeyi ve hata payını girerek istatistiksel olarak anlamlı sonuçlar elde edin.

tanh(x) İkinci Türev Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Formül