Hiperbolik tanjant nedir?
tanh(x) olarak yazılan hiperbolik tanjant, temel hiperbolik fonksiyonlardan biridir. Hiperbolik sinüsün hiperbolik kosinüse oranı olarak tanımlanır: \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). Reel girdilerde çıktısı her zaman kesin olarak -1 ile 1 arasında kalır ve fonksiyon orijinden yumuşak bir şekilde geçer. Düzgün, sınırlı ve S biçimli bir eğri olduğu için tanh, yapay sinir ağlarında aktivasyon fonksiyonu olarak ve sinyal işlemede yumuşak doygunluk eğrisi olarak yaygın biçimde kullanılır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Bir x değeri girerek tanh(x), birinci türevi tanh'(x) ve ikinci türevi tanh''(x) sonuçlarını anında görün. Eğrilerin biçimini incelemek isterseniz aralık alanlarını doldurun: bir başlangıç değeri, bir bitiş değeri ve pozitif bir adım büyüklüğü. Hesaplayıcı, bu aralık boyunca x, tanh(x), tanh'(x) ve tanh''(x) sütunlarından oluşan bir tablo oluşturur. Adım sıfırdan büyük olmalı ve bitiş değeri en az başlangıç değeri kadar olmalıdır; aksi takdirde tablo atlanır.
Formüllerin açıklaması
Fonksiyon şu şekildedir:
$$\tanh\!\left(x\right) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$Türevi şık bir biçime sahiptir:
$$\frac{d}{dx}\tanh\!\left(x\right) = 1 - \tanh^{2}\!\left(x\right) = \operatorname{sech}^{2}\!\left(x\right)$$Bu ifade her zaman pozitiftir ve \(x = 0\) olduğunda 1 değeriyle en yüksek noktasına ulaşır. Bir kez daha türevini alırsak
$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\tanh\!\left(x\right) = -2\,\tanh\!\left(x\right)\left(1 - \tanh^{2}\!\left(x\right)\right)$$sonucunu elde ederiz. Büyük \(|x|\) değerlerinde sayısal kararlılık için üstel taşmayı önleyen standart kütüphane tanh fonksiyonunu kullanırız.
Çözümlü örnek
\(x = 1\) olsun. Bu durumda \(e^{1} = 2.718281828\) ve \(e^{-1} = 0.367879441\) olur, dolayısıyla
$$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156$$çıkar. Birinci türev \(1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341\), ikinci türev ise \(-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700\) olur.
Sık sorulan sorular
tanh(0) kaçtır? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (en dik eğim) ve \(\tanh''(0) = 0\).
tanh tek mi yoksa çift fonksiyon mu? tanh tek bir fonksiyondur: \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). Birinci türevi çift, ikinci türevi tektir.
tanh'in değer aralığı nedir? Çıktı, x eksi sonsuza giderken -1'e, artı sonsuza giderken 1'e yaklaşır ama hiçbir zaman bu değerlere ulaşmaz; bu nedenle değer aralığı açık aralık olan \((-1, 1)\)'dir.
