什么是双曲正切函数？
双曲正切函数记作 tanh(x)，是最基本的双曲函数之一。它的定义是双曲正弦与双曲余弦之比，即 tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)。对于任意实数输入，它的输出始终严格落在 -1 与 1 之间，且曲线平滑地穿过原点。正因为它平滑、有界、呈 S 形，tanh 被广泛用作神经网络中的激活函数，以及信号处理中的软饱和曲线。
如何使用本计算器
输入一个 x 值，即可立刻得到 tanh(x)、其一阶导数 tanh'(x) 以及二阶导数 tanh''(x)。若想观察曲线的整体形状，可填写区间相关字段：起始值、终止值和一个正的步长。计算器会据此生成一张涵盖整个区间的数值表，列出 x、tanh(x)、tanh'(x) 和 tanh''(x)。注意，步长必须大于零，终止值不得小于起始值，否则将不会生成数值表。
公式解析
函数表达式为 tanh(x) = (e^x − e^(−x)) / (e^x + e^(−x))。它的导数形式十分简洁：tanh'(x) = 1 − tanh(x)^2 = sech(x)^2，该值始终为正，并在 x = 0 时取得最大值 1。再求一次导得到 tanh''(x) = −2 tanh(x)(1 − tanh(x)^2)。当 |x| 较大时，为保证数值稳定，我们直接调用标准库中的 tanh 函数，从而避免指数运算溢出。
计算实例
取 x = 1。此时 e^1 = 2.718281828，e^(−1) = 0.367879441，所以 tanh(1) = (2.718281828 − 0.367879441)/(2.718281828 + 0.367879441) = 0.761594156。一阶导数为 1 − 0.761594156^2 = 0.419974341，二阶导数为 −2 × 0.761594156 × 0.419974341 = −0.639700。
常见问题
tanh(0) 等于多少？ tanh(0) = 0，tanh'(0) = 1（此处斜率最大），tanh''(0) = 0。
tanh 是奇函数还是偶函数？ tanh 是奇函数，满足 tanh(−x) = −tanh(x)。它的一阶导数是偶函数，二阶导数是奇函数。
tanh 的取值范围是多少？ 当 x 趋于负无穷时输出趋近 −1，当 x 趋于正无穷时输出趋近 1，但始终无法真正取到这两个值，因此取值范围是开区间 (−1, 1)。
