हाइपरबॉलिक टैंजेंट क्या है?
हाइपरबॉलिक टैंजेंट, जिसे \(\tanh(x)\) लिखा जाता है, बुनियादी हाइपरबॉलिक फ़ंक्शनों में से एक है। इसे हाइपरबॉलिक साइन और हाइपरबॉलिक कोसाइन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, यानी \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\)। वास्तविक इनपुट के लिए इसका आउटपुट हमेशा सख़्ती से -1 और 1 के बीच रहता है, और यह फ़ंक्शन मूल बिंदु (origin) से सहज रूप से गुज़रता है। चूँकि यह स्मूद, परिबद्ध (bounded) और S-आकार का होता है, इसलिए tanh को न्यूरल नेटवर्क में एक्टिवेशन फ़ंक्शन के रूप में और सिग्नल प्रोसेसिंग में सॉफ़्ट सैचुरेशन कर्व के रूप में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
x का कोई मान दर्ज करें और तुरंत \(\tanh(x)\), इसका पहला अवकलज \(\tanh'(x)\) और दूसरा अवकलज \(\tanh''(x)\) पढ़ें। कर्व के आकार को समझने के लिए रेंज वाले फ़ील्ड भरें: एक शुरुआती मान, एक अंतिम मान और एक धनात्मक स्टेप साइज़। इसके बाद कैलकुलेटर पूरी रेंज में \(x\), \(\tanh(x)\), \(\tanh'(x)\) और \(\tanh''(x)\) की एक तालिका बना देता है। स्टेप शून्य से बड़ा होना चाहिए और अंतिम मान कम-से-कम शुरुआती मान के बराबर होना चाहिए, वरना तालिका नहीं बनती।
सूत्रों की व्याख्या
फ़ंक्शन है
$$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$इसके अवकलज का रूप बेहद सुंदर है:
$$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x)$$जो हमेशा धनात्मक रहता है और \(x = 0\) पर अपने अधिकतम मान 1 तक पहुँचता है। एक बार और अवकलन करने पर मिलता है
$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\tanh(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$बड़े \(|x|\) पर संख्यात्मक स्थिरता (numerical stability) के लिए हम मानक लाइब्रेरी के tanh का उपयोग करते हैं, जिससे एक्सपोनेंशियल ओवरफ़्लो से बचा जा सके।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(x = 1\)। तब \(e^{1} = 2.718281828\) और \(e^{-1} = 0.367879441\), इसलिए
$$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156$$पहला अवकलज है
$$1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341$$और दूसरा अवकलज है
$$-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700$$अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
tanh(0) कितना होता है? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (सबसे तीव्र ढलान), और \(\tanh''(0) = 0\)।
क्या tanh विषम (odd) है या सम (even)? tanh एक विषम फ़ंक्शन है, यानी \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\)। इसका पहला अवकलज सम होता है और दूसरा अवकलज विषम।
tanh की रेंज क्या है? जैसे-जैसे x ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है, आउटपुट -1 की ओर बढ़ता है और धनात्मक अनंत की ओर जाने पर 1 की ओर, पर इन्हें कभी छूता नहीं। इसलिए रेंज खुला अंतराल \((-1, 1)\) है।
