ما هي دالة tanh؟
الظل الزائدي، ويُكتب \(\tanh(x)\)، هو دالة ناعمة على شكل حرف S (دالة سيغمويدية) معرّفة عند كل عدد حقيقي x. تُعرّف بأنها نسبة الفرق إلى المجموع بين الأسّيتين \(e^{x}\) و \(e^{-x}\). تقع قيمتها دائمًا بدقة بين -1 و 1، وهي دالة فردية، أي أن \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). في تعلّم الآلة، تُعدّ tanh دالة تفعيل شائعة للخلايا العصبية لأنها متمركزة حول الصفر، وهذا غالبًا ما يساعد على تسريع تقارب التدريب القائم على التدرّج مقارنةً بالدالة السيغمويدية التي تتراوح قيمها بين 0 و 1.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أي عدد حقيقي للمتغير x، وتعيد الأداة فورًا قيمة \(\tanh(x)\) مع مشتقتين اختياريتين مفيدتين في التفاضل والتكامل والفيزياء والانتشار العكسي. تُقبل الأعداد السالبة والأعداد العشرية والقيم الكبيرة جدًا. فعند القيم الموجبة الكبيرة لـ x تقترب القيمة من +1، وعند القيم السالبة الكبيرة تقترب من -1.
شرح المعادلة
التعريف الأساسي هو $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ المقام لا يقل أبدًا عن 2، لذا لا يوجد احتمال للقسمة على صفر. تأتي المشتقة الأولى من المتطابقة الأنيقة $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)$$ وتُكتب أيضًا \(\operatorname{sech}^{2}(x)\). وبالتفاضل مرة أخرى نحصل على المشتقة الثانية $$f''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ ولتحقيق الاستقرار العددي عند القيم الكبيرة جدًا لـ \(|x|\)، تُستخدم داخليًا صيغة قائمة على الأسّ \(\exp(-2x)\) لتجنّب الفيضان (overflow).
مثال محلول (x = 0.5)
باستخدام \(e^{0.5} = 1.6487212707\) و \(e^{-0.5} = 0.6065306597\)، نحصل على $$\tanh(0.5) = \frac{1.0421906110}{2.2552519304} = 0.4621171573$$ أما المشتقة الأولى فهي \(1 - 0.4621171573^{2} = 0.7864477623\)، والمشتقة الثانية هي \(-2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477623 = -0.7269989018\).
الأسئلة الشائعة
ما هو مدى دالة tanh؟ هو المجال المفتوح (-1، 1)؛ فالدالة تقترب من الطرفين لكنها لا تبلغهما أبدًا.
كم تساوي \(\tanh(0)\)؟ تساوي 0 تمامًا، مع \(f'(0) = 1\) و \(f''(0) = 0\).
لماذا نستخدم tanh بدلًا من السيغمويد؟ لأن tanh متمركزة حول الصفر (مخرجاتها متماثلة حول الصفر)، وهذا قد يسرّع تعلّم الشبكات العصبية، بينما الدالة اللوجستية السيغمويدية تُخرج قيمًا موجبة فقط بين 0 و 1.
