ما هي القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي المنطقة التي تشبه «شكل القوس» داخل الدائرة، وتحدّها من جهة وتر مستقيم ومن الجهة الأخرى القوس الذي يقطعه هذا الوتر. ويمكن وصفها بمقدارين يسهل قياسهما: طول الوتر c (القاعدة المستقيمة)، والارتفاع h الذي يُسمّى أيضًا السهم (sagitta)، وهو أكبر مسافة من منتصف الوتر صعودًا إلى القوس. تأخذ هذه الحاسبة القيمتين c و h، وتعطيك مساحة القطعة S، والزاوية المركزية التي يقابلها القوس (بالراديان والدرجة معًا)، وطول القوس L، ونصف قطر الدائرة الأصلية r.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الوتر وارتفاع القطعة بأي وحدة طول متسقة (أمتار، بوصات، بكسلات — ما تشاء). تعود إليك كل المخرجات الطولية (L و r) بالوحدة نفسها، والمساحة S بمربّع تلك الوحدة، والزوايا بالراديان والدرجة. ويجب أن يكون الارتفاع h أكبر من الصفر.
شرح المعادلات
أولًا نستخرج نصف القطر من علاقة الوتر \( c = 2\sqrt{h(2r - h)} \)، التي تُعاد صياغتها إلى صيغة السهم المعروفة \( r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h} \). ثم تكون الزاوية المركزية \( \theta = 2\cos^{-1}\left(1 - \frac{h}{r}\right) \)، وطول القوس \( L = r\,\theta \)، ومساحة القطعة $$ S = \frac{\theta}{2}\,r^{2} - (r - h)\sqrt{h(2r - h)}. $$ وبما أن \( \sqrt{h(2r - h)} \) تساوي \( c/2 \)، يمكن كتابة المساحة أيضًا بالصيغة $$ S = \frac{\theta}{2}\,r^{2} - (r - h)\cdot\frac{c}{2}. $$
مثال محلول
لنفترض \( c = 1.2 \) و \( h = 0.5 \): عندئذٍ \( r = 0.25 + \frac{1.44}{4} = 0.61 \). ثم \( 1 - \frac{h}{r} = 0.180328 \)، فتكون \( \theta = 2\cdot\arccos(0.180328) = 2.778906 \) راديان \( = 159.22^\circ \). وطول القوس \( L = 0.61 \times 2.778906 = 1.695133 \). وبما أن \( \sqrt{0.5\cdot 0.72} = 0.6 \)، تكون المساحة \( S = 1.389453\cdot 0.3721 - 0.11\cdot 0.6 = 0.516916 - 0.066 = \) 0.450916.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان h يساوي r؟ تكون القطعة عندئذٍ نصف دائرة تمامًا، وتساوي \( \theta = \pi \) (180°).
هل يمكن أن يتجاوز h قيمة r؟ نعم — تصبح القطعة عندئذٍ أكبر من نصف دائرة. وتبقى المعادلة صالحة ما دام \( h \le 2r \)؛ وعند \( h = 2r \) تحصل على الدائرة الكاملة (\( \theta = 2\pi \)).
أي وحدات ينبغي أن أستخدم؟ أي وحدة طول واحدة متسقة. وتَرِث النتيجة هذه الوحدة ببساطة (طول، ومربّع طول، وزاوية).
