활꼴이란?
활꼴(circular segment)은 원에서 직선인 현과 그 현이 잘라낸 호로 둘러싸인 '활 모양' 영역을 말합니다. 활꼴은 쉽게 잴 수 있는 두 가지 값으로 표현됩니다. 하나는 밑변이 되는 직선, 즉 현의 길이 c이고, 다른 하나는 높이 h입니다. 이 높이는 시타(sagitta)라고도 부르며, 현의 중점에서 호까지의 최대 거리를 뜻합니다. 이 계산기는 c와 h를 입력받아 활꼴의 넓이 S, 호가 만드는 중심각(라디안과 도(°) 모두), 호의 길이 L, 그리고 원래 원의 반지름 r을 계산해 줍니다.
사용 방법
현의 길이와 활꼴의 높이를 같은 단위로 입력하세요. 미터, 인치, 픽셀 등 어떤 길이 단위든 상관없으며, 두 값의 단위만 통일하면 됩니다. 길이 결과(L과 r)는 입력한 것과 같은 단위로, 넓이 S는 그 단위의 제곱으로, 각도는 라디안과 도(°)로 표시됩니다. 단, 높이 h는 반드시 0보다 커야 합니다.
공식 풀이
먼저 현에 관한 관계식 \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\)에서 반지름을 구합니다. 이 식을 정리하면 잘 알려진 시타 공식 $$r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h}$$가 됩니다. 중심각은 \(\theta = 2\cdot\cos^{-1}\left(1 - \frac{h}{r}\right)\), 호의 길이는 \(L = r\cdot\theta\), 활꼴의 넓이는 $$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$입니다. 여기서 \(\sqrt{h(2r - h)}\)는 \(c/2\)와 같으므로, 넓이는 \(S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot(c/2)\)로 쓸 수도 있습니다.
계산 예시
\(c = 1.2\), \(h = 0.5\)인 경우: \(r = 0.25 + 1.44/4 = 0.61\). 이때 \(1 - h/r = 0.180328\)이므로 \(\theta = 2\cdot\arccos(0.180328) = 2.778906 \text{ rad} = 159.22°\). 호의 길이는 \(L = 0.61 \times 2.778906 = 1.695133\). 그리고 \(\sqrt{0.5\cdot 0.72} = 0.6\)이므로 넓이는 $$S = 1.389453\cdot 0.3721 - 0.11\cdot 0.6 = 0.516916 - 0.066 = \mathbf{0.450916}$$입니다.
자주 묻는 질문
h가 r과 같으면 어떻게 되나요? 이때 활꼴은 정확히 반원이 되며 \(\theta = \pi\) (180°)입니다.
h가 r보다 클 수도 있나요? 네, 가능합니다. 이 경우 활꼴은 반원보다 커집니다. \(h \le 2r\)인 한 공식은 그대로 성립하며, \(h = 2r\)일 때는 원 전체(\(\theta = 2\pi\))가 됩니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 길이 단위 하나로 통일하기만 하면 됩니다. 결과는 그 단위를 그대로 따라가며(길이, 길이의 제곱, 각도) 표시됩니다.
