¿Qué es un segmento circular?
Un segmento circular es esa región con forma de «arco de ballesta» de un círculo que queda delimitada por una cuerda recta y el arco que esta recorta. Se describe mediante dos magnitudes muy fáciles de medir: la longitud de la cuerda c (la base recta) y la altura h, también llamada sagita, que es la distancia máxima desde el punto medio de la cuerda hasta el arco. Esta calculadora toma c y h y te devuelve el área del segmento S, el ángulo central que abarca el arco (tanto en radianes como en grados), la longitud del arco L y el radio r del círculo del que procede.
Cómo utilizarla
Introduce la longitud de la cuerda y la altura del segmento en cualquier unidad de longitud, siempre que sea la misma para ambas (metros, pulgadas, píxeles… lo que prefieras). Todos los resultados de longitud (L y r) se expresan en esa misma unidad, el área S en esa unidad al cuadrado y los ángulos en radianes y grados. La altura h debe ser mayor que cero.
Las fórmulas, paso a paso
Primero se recupera el radio a partir de la relación de la cuerda \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\), que al despejar da la fórmula clásica de la sagita
$$r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h}$$El ángulo central es entonces
$$\theta = 2\cdot\cos^{-1}\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$la longitud del arco es \(L = r\cdot\theta\) y el área del segmento es
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$Como \(\sqrt{h(2r - h)}\) es igual a \(c/2\), el área también puede escribirse como
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\frac{c}{2}$$
Ejemplo resuelto
Para \(c = 1{,}2\) y \(h = 0{,}5\): \(r = 0{,}25 + 1{,}44/4 = 0{,}61\). Entonces \(1 - h/r = 0{,}180328\), de modo que \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}180328) = 2{,}778906 \text{ rad} = 159{,}22°\). La longitud del arco es \(L = 0{,}61 \times 2{,}778906 = 1{,}695133\). Como \(\sqrt{0{,}5\cdot 0{,}72} = 0{,}6\), el área es \(S = 1{,}389453\cdot 0{,}3721 - 0{,}11\cdot 0{,}6 = 0{,}516916 - 0{,}066 =\) 0,450916.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si h es igual a r? El segmento es exactamente un semicírculo y \(\theta = \pi\) (180°).
¿Puede h ser mayor que r? Sí: en ese caso el segmento es mayor que un semicírculo. La fórmula sigue siendo válida siempre que \(h \le 2r\); cuando \(h = 2r\) obtienes el círculo completo (\(\theta = 2\pi\)).
¿Qué unidades debo usar? Cualquier unidad de longitud, con tal de mantenerla en todo momento. El resultado simplemente la hereda (longitud, longitud al cuadrado y ángulo).
