ما هي القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي الجزء من الدائرة المحصور بين وتر والقوس الذي يقابله. تخيّل أنك تقطع الدائرة بخط مستقيم: الجزء الأصغر المقتطع (بين الخط والحافة المنحنية) هو القطعة الدائرية. تحسب هذه الأداة ثلاثة قياسات أساسية انطلاقًا من نصف القطر والزاوية المركزية فقط، وهي: مساحة القطعة \(S\) وطول القوس \(L\) وطول الوتر \(c\). الحساب هندسي بحت وينطبق عالميًا مع أي وحدة طول تختارها.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر \(r\) والزاوية المركزية \(\theta\). ثم اختر وحدة الزاوية (درجات أو راديان) من قائمة الوحدات. تحوّل الأداة الزاوية داخليًا إلى الراديان، ثم تطبّق جميع المعادلات. تُعرض النتائج بدقة عالية. ينبغي أن تتراوح الزاوية بين 0 و360 درجة (أي بين 0 و\(2\pi\) راديان)؛ وعند الدائرة الكاملة تصبح القطعة هي القرص بأكمله.
شرح المعادلات
حيث \(\theta\) مُعبَّر عنها بالراديان وr هو نصف القطر:
المساحة: $$S = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$ وهي مساحة القطاع الدائري \(\tfrac{1}{2} r^{2}\theta\) مطروحًا منها مساحة المثلث \(\tfrac{1}{2} r^{2}\sin\theta\).
طول القوس: $$L = r\theta$$ لاحظ أنها r مضروبة في theta، وليست \(2r\theta\).
طول الوتر: $$c = 2r\cdot\sin(\theta/2)$$ دالة الجيب تأخذ دائمًا قيمة الزاوية بالراديان.
مثال محلول
لنأخذ \(r = 1\) و\(\theta = 120\) درجة. نحوّل: $$\theta = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0943951$$ ومن ثَمّ \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\). المساحة $$S = 0.5 \times 1 \times (2.0943951 - 0.8660254) = 0.6141848$$ طول القوس $$L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951$$ الوتر $$c = 2 \times \sin(60^\circ) = 1.7320508$$ (وهي \(\sqrt{3}\)).
الأسئلة الشائعة
هل طول القوس يساوي \(2r\theta\)؟ لا. الطول الصحيح للقوس هو \(L = r\theta\) مع \(\theta\) بالراديان.
ماذا لو كان نصف القطر صفرًا؟ نصف القطر الصفري يمثّل نقطة منحلّة، لذا تكون جميع النتائج صفرًا.
هل يمكن أن تتجاوز الزاوية 180 درجة؟ نعم. حتى 360 درجة تعطي المعادلة مساحة القطعة الأكبر؛ وعند 360 درجة بالضبط تحصل على مساحة القرص الكامل \(\pi r^{2}\).
