ما هو تبديل القلادة؟
تبديل القلادة (ويُعرف أيضًا بترتيب السوار، أو في اليابانية بتبديل "جوزو" المرتبط بمسبحة الصلاة) هو عدد الطرق المتميزة لترتيب n من العناصر المختلفة حول حلقة مغلقة، بحيث يُعتبر ترتيبان متطابقين إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق تدوير الحلقة أو عن طريق قلبها رأسًا على عقب (أي انعكاسها). وهو يأتي خطوة واحدة أبعد من التبديل الدائري: فالتبديل الدائري يزيل التماثل الدوراني فقط، بينما القلادة تزيل كذلك التماثل المرآوي.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخل عدد العناصر المختلفة n (عدد صحيح غير سالب)، فتُرجع لك الحاسبة عدد ترتيبات القلادة المتميزة. ولأغراض المقارنة، تعرض أيضًا عدد التباديل الخطية \((n!)\) وعدد التباديل الدائرية \(((n-1)!)\). وبما أن المضروب (العاملي) ينمو بسرعة هائلة، فإن النتيجة تُحسب باستخدام حساب الأعداد الصحيحة بدقة لا متناهية، بحيث تظهر حتى القيم الكبيرة من n بدقة تامة.
شرح الصيغة
عند ترتيب n من العناصر خطيًا، يكون هناك \(n!\) ترتيب. وبتثبيت عنصر واحد على الحلقة لإزالة التدويرات المتكافئة وعددها n، يتبقى لدينا \((n-1)!\) ترتيب دائري. أما القلادة فتتعامل إضافةً مع النمط في اتجاه عقارب الساعة وصورته المرآوية المعاكسة على أنهما متطابقان، لذا نقسم مرة أخرى على 2:
$$N = \frac{\left(\text{Objects }(n) - 1\right)!}{2}$$\(P = (n - 1)! / 2\) عندما تكون \(n \ge 3\).
أما في حالات \(n = 0\) و1 و2، فإن الصيغة البسيطة ستعطي قيمة غير صحيحة أو عدًّا ناقصًا، لذا فالاتفاق العرفي هو أن تكون الإجابة 1 في كل من هذه الحالات: إذ توجد حلقة متميزة واحدة بالضبط (أو حلقة فارغة).
مثال محلول
لـ \(n = 5\): $$(5 - 1)! / 2 = 4! / 2 = 24 / 2 = 12$$ قلادة متميزة. ولـ \(n = 6\): \(5! / 2 = 120 / 2 = 60\). ولـ \(n = 4\): \(3! / 2 = 3\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتبديل الدائري؟ التبديل الدائري يساوي \((n-1)!\) ويَعُدّ التدويرات متطابقة، لكنه يعامل الصور المرآوية على أنها مختلفة. أما تبديل القلادة فيقسم ذلك على 2 لأن القلب (الانعكاس) يُعد أيضًا متطابقًا.
لماذا تكون الإجابة 1 عند \(n = 2\)؟ مع عنصرين، لا توجد سوى حلقة واحدة ممكنة؛ فتدويرها أو قلبها لا يؤدي إلا إلى تبديل الموضعين، وبالتالي تتطابق جميع الترتيبات. والصيغة \((2-1)!/2 = 1/2\) ليست صحيحة هنا، ولهذا تُستخدم حالة خاصة.
هل تفترض الصيغة أن جميع العناصر مختلفة؟ نعم. تفترض هذه الحاسبة وجود n من العناصر المتميزة. وإذا كانت بعض العناصر متطابقة، فسيكون العدد أصغر ويحتاج إلى معالجة مختلفة (وفق نظرية بيرنسايد/بوليا).
