पुनरावृत्ति सहित क्रमचय क्या है?
पुनरावृत्ति सहित क्रमचय (Permutation with Repetition) उन क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की गिनती है जो आप तब बना सकते हैं जब किसी n भिन्न वस्तुओं के समूह में से r वस्तुएँ चुनी जाएँ और हर वस्तु को जितनी बार चाहें दोबारा इस्तेमाल किया जा सके। चूँकि यहाँ क्रम मायने रखता है और दोहराव की भी अनुमति है, इसलिए यह संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है — और यह सरल घात-नियम \(P = \text{n}^{\,\text{r}}\) का पालन करती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दो मान दर्ज करें: n, यानी उपलब्ध भिन्न वस्तुओं की संख्या (उदाहरण के लिए, अंक 0–9 यानी 10 अंक), और r, यानी भरने वाले चयनों या स्थानों की संख्या (उदाहरण के लिए, 4-अंकों का PIN)। कैलकुलेटर तुरंत \(\text{n}^{\,\text{r}}\) का परिणाम देता है, यानी कुल संभावित क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की संख्या।
सूत्र की व्याख्या
r में से हर एक स्थान को n वस्तुओं में से किसी भी एक से स्वतंत्र रूप से भरा जा सकता है। गुणन सिद्धांत (multiplication principle) के अनुसार ये विकल्प आपस में गुणा होते हैं: \(\text{n} \times \text{n} \times \ldots \times \text{n}\) (r बार) \(= \text{n}^{\,\text{r}}\)। यह बिना पुनरावृत्ति वाले क्रमचय \(\left(\frac{n!}{(n-r)!}\right)\) से अलग है, जहाँ हर वस्तु का उपयोग केवल एक ही बार किया जा सकता है।
हल किया गया उदाहरण
अंक 0–9 का उपयोग करते हुए कितने 4-अंकों के PIN कोड बन सकते हैं? यहाँ n = 10 और r = 4 है, इसलिए $$P = 10^{4} = 10{,}000$$ संभावित PIN। इसी तरह, 26 अक्षरों से बना 3-अक्षरों का पासवर्ड \(26^{3} = 17{,}576\) संयोजन देता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
पुनरावृत्ति का उपयोग कब करना चाहिए? जब कोई वस्तु एक से अधिक बार आ सकती हो, जैसे PIN में अंक, पासवर्ड में अक्षर, या पासे के फेंक — तब पुनरावृत्ति का उपयोग करें।
अगर r = 0 हो तो क्या होगा? परंपरा के अनुसार \(\text{n}^{0} = 1\) होता है — ठीक एक ही व्यवस्था संभव होती है (खाली चयन)।
यह संयोजन (combinations) से कैसे अलग है? संयोजन में क्रम को नज़रअंदाज़ किया जाता है, जबकि क्रमचय हर क्रम को अलग-अलग गिनता है, जिससे कुल संख्या बड़ी हो जाती है।
