組合計算機（nCr）

輸入計算

項目總數（n）

選取數量（r）

結果

組合數（nCr）

10

ways to choose 3 from 5

項目總數（n）	5
選取數量（r）	3
需要考慮順序嗎？	否（組合）

什麼是組合計算機？

所謂「組合」，是指從一個較大的集合中挑選若干項目，而且不考慮順序、每個項目最多只取一次。本計算機可算出 nCr——也就是從 n 個不同項目中，選出大小為 r 的不同群組共有幾種。它是排列組合、機率、樂透分析與統計學中的核心工具。

組合用於計算在不考慮順序的情況下從 n 個中選取 r 個的方式數量。

如何使用

輸入項目總數 n，再輸入想要選取的數量 r，計算機便會立即顯示有幾種不同的組合。請注意 \(r\) 不能大於 \(n\)；若選取的數量超過實際存在的項目，數學上無定義，計算結果會回傳零。

公式說明

組合數的計算公式為：

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$

這裡的「!」代表階乘（也就是從 1 一路乘到該數字的所有正整數之積）。同時除以 \(r!\) 與 \((n-r)!\)，是為了去除排列中會重複計算的不同排列順序，因為在組合裡順序並不重要。為了在數字很大時仍維持精準，本工具採用連乘（乘法）方式計算，而非直接運算龐大的階乘。

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nCr 公式將 n! 除以 r! 乘以 (n 減 r)!。

實際範例

從 5 位學生中挑出 3 位，共有幾種選法？套用公式：$$\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$$因此可組成 10 種不同的三人小組。

常見問題

組合（combination）和排列（permutation）有什麼不同？排列在意順序（AB ≠ BA），組合則不在意順序（AB = BA）。在相同的 \(n\) 與 \(r\) 之下，排列的數量永遠大於或等於組合。

nC0 或 nCn 等於多少？兩者都等於 1——一個都不選只有一種方式，全部都選也只有一種方式。

這個計算機允許重複選取嗎？不允許。本計算機算的是不重複的組合，意即每個項目最多只能被選取一次。