組合計算機 nCr｜從 n 個取 r 個（n 選 r）

輸入計算

結果

組合數（nCr）

ways to choose 2 from 4 (order ignored)

n（元素總數）	4
r（選取個數）	2
記法	C(4, 2)

什麼是組合計算機（nCr）？

這個計算機可以求出組合數——常寫成 nCr、C(n, r) 或「n 選 r」——也就是在不考慮選取順序的前提下，從 n 個相異元素中選出 r 個的方法總數。選到 {A, B} 與選到 {B, A} 算同一種組合。它其實就是二項式係數，是組合數學、機率與統計學裡最基礎的概念之一。

Selecting a subset of items from a larger group regardless of order — Combinations count the ways to choose r items from n distinct items when order does not matter.

使用方法

輸入元素總數 n 以及想要選取的個數 r，即可立即看到結果。兩個數值都必須是非負整數，而且 r 不能大於 n（本頁面會強制要求 $n \ge r \ge 0$）。計算機採用大整數精確運算，即使結果非常龐大，也能維持完全準確，不會四捨五入。

公式說明

最經典的定義是 $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ 為了避免計算龐大的階乘，本工具改用穩定的連乘形式，並運用對稱性質 $C(n, r) = C(n, n - r)$：先取 $k = \min(r, n - r)$，從 1 開始，對 $i = 1..k$ 逐步乘以 $(n - k + i)$ 再除以 $i$。由於每一次除法都剛好整除，整個過程中的數值永遠都是整數。

Breakdown of the n choose r formula into factorial parts — The formula divides n! by r! and (n-r)! to remove ordering of both the chosen and unchosen items.

實例演算

從 4 張牌中抽出 2 張，可以組成幾種牌組？$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$ 種。再看一個樂透的例子：從 49 個號碼中選 6 個，$C(49, 6) = 13{,}983{,}816$ 種不同的組合——這正是頭獎中獎機率如此渺茫的原因。